Equazione di un'ellisse
Salve!
Sto facendo un esercizio ma non sono sicura che il mio procedimento sia corretto.
L'esercizio dice di verificare che la conica che ha due fuochi F(-√2/2,√2/2) e G(√2/2,-√2/2) e vertice V(√2,-√2) è un'ellisse.
Allora io ho pensato di usare il fatto che un'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano le cui distanze tra i due fuochi hanno somma uguale a 2a.
Quindi ho preso un punto P(x,y) e ho impostato il tutto.
Ho svolto e ho trovato
x^2(1-2a^2)+y^2(1-2a^2)+√2a^2x-2xy+2a^4-a^2=0
quì mi blocco...ho pensato di far appartenere V a questa conica così da potermi ricavare il parametro a ma l'equazione in a mi viene con il delta negativo...oppure devo fare delle considerazioni sui valori di a per cui questa è un'ellisse?ma a questo punto perchè darmi anche il vertice?..
grazie
Sto facendo un esercizio ma non sono sicura che il mio procedimento sia corretto.
L'esercizio dice di verificare che la conica che ha due fuochi F(-√2/2,√2/2) e G(√2/2,-√2/2) e vertice V(√2,-√2) è un'ellisse.
Allora io ho pensato di usare il fatto che un'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano le cui distanze tra i due fuochi hanno somma uguale a 2a.
Quindi ho preso un punto P(x,y) e ho impostato il tutto.
Ho svolto e ho trovato
x^2(1-2a^2)+y^2(1-2a^2)+√2a^2x-2xy+2a^4-a^2=0
quì mi blocco...ho pensato di far appartenere V a questa conica così da potermi ricavare il parametro a ma l'equazione in a mi viene con il delta negativo...oppure devo fare delle considerazioni sui valori di a per cui questa è un'ellisse?ma a questo punto perchè darmi anche il vertice?..
grazie
Risposte
Al posto di 2a metti il doppio del semiasse maggiore (OV)
ho fatto qualche calcolo
$sqrt((x+sqrt2/2)^2+(y-sqrt2/2)^2)+sqrt((x-sqrt2/2)^2+(y+sqrt2/2)^2)=4$
il mio risultato è questo
$x^2+y^2+2/7xy=24/7$
che rappresenta l'equazione di un'ellisse ruotata di 45° in senso orario e con centro l'origine degli assi.
$sqrt((x+sqrt2/2)^2+(y-sqrt2/2)^2)+sqrt((x-sqrt2/2)^2+(y+sqrt2/2)^2)=4$
il mio risultato è questo
$x^2+y^2+2/7xy=24/7$
che rappresenta l'equazione di un'ellisse ruotata di 45° in senso orario e con centro l'origine degli assi.
"piero_":
il mio risultato è questo
$x^2+y^2+2/7xy=24/7$
Ho controllato con la nuova funzione di geogebra:
il risultato è
$7x^2 + 2xy + 7y^2 - 24 = 0$
quindi il tuo risultato è corretto.
P.S.: Geogebra è il numero uno!
grazie mille!
Prego!
ciao
ciao
"franced":
P.S.: Geogebra è il numero uno!
Sono d'accordo!
"@melia":
[quote="franced"]P.S.: Geogebra è il numero uno!
Sono d'accordo!
[/quote]Speriamo che esca geogebra 3D.
"franced":
[quote="piero_"]il mio risultato è questo
$x^2+y^2+2/7xy=24/7$
Ho controllato con la nuova funzione di geogebra:
il risultato è
$7x^2 + 2xy + 7y^2 - 24 = 0$
quindi il tuo risultato è corretto.
[/quote]
Un'osservazione che magari può essere utile a molti:
quando un'ellisse è ruotata di 45 gradi (in senso orario o antiorario),
i termini $x^2$ e $y^2$ hanno lo stesso coefficiente.
"franced":
[quote="@melia"][quote="franced"]P.S.: Geogebra è il numero uno!
Sono d'accordo!
[/quote]Speriamo che esca geogebra 3D.[/quote]
Per la versione 3D bisognerà aspettare un po'. Ci sta lavorando un gruppo francese.
Per la v. 3.4 sono previste un sacco di nuove funzioni veramente notevoli!
Stay tuned..... www.geogebra.org
Grazie,
S.
"mathmum":
[quote="franced"]
Speriamo che esca geogebra 3D.
Per la versione 3D bisognerà aspettare un po'. Ci sta lavorando un gruppo francese.
Per la v. 3.4 sono previste un sacco di nuove funzioni veramente notevoli!
Stay tuned..... www.geogebra.org
Grazie,
S.[/quote]
Speriamo bene allora per questo 3D!!
Le nuove funzioni sono troppo forti: ad esempio, la funzione che permette di costruire un'ellisse
o un'iperbole dati i fuochi e un punto è troppo utile!
(L'ho sfruttata proprio per risolvere il problema che veniva posto sopra.. 5 secondi e zac.. ecco l'equazione e il grafico!)
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