Equazione di una parabola dati un punto e due rette tangenti
Ho appena finito di leggere il regolamento e mi scuso per ogni infrazione che sarà involontaria. Questo pomeriggio verso le 4 e mezza circa ho cominciato a fare questo esercizio: "Determina l' equazione della parabola y = ax^2 + bx + c passante per il punto A(0;1) e tangente a entrambe le rette di equazioni y = -4x e 4x + 4y -3 = 0" Le soluzioni del testo sono [y = x^2 - 2x + 1; y = 9x^2 + 2x + 1]. Io per prima cosa ho messo a sistema il punto A e l' equazione del fascio di parabole. In questo modo ho scoperto che c è uguale ad 1. E da qui in poi è stata una passeggiata nel buio. Io ho provato a sostituire nella equazione del generico fascio di rette y = -4x e y = -x +3/4, trovando due equazioni di secondo grado, entrambe uguali a zero. Di entrambe ho scritto la formula del delta, ponendo il delta uguale a 0. Le ho poste uguali fra loro ed ovviamente ottengo 0 = 0, questo non lo metto in dubbio, ma il problema è che non è ciò che voglio dimostrare........ Ho riletto la teoria un sacco di volte ma non ho idee, qualcuno qui potrebbe darmi una mano? Aiutarmi a capire cosa devo fare? Ringrazio in anticipo.
P.S. Ho fatto anche molti altri tentativi, tutti invano. Dopo il 3 tentatativo continuare a provare nuove possibili soluzioni senza nemmeno sapere cosa stassi facendo, riguardando i miei fogli non capisco nemmeno cosa ho fatto! Mi scuso per non aver usato il plugin del forum per scrivere bene le formule, ma il fatto è che non so usare quelle sintassi e sono le 10 di sera e sono stanco morto, non è il miglior momento per imparare a scrivere bene al PC le formule matematiche.
P.S. Ho fatto anche molti altri tentativi, tutti invano. Dopo il 3 tentatativo continuare a provare nuove possibili soluzioni senza nemmeno sapere cosa stassi facendo, riguardando i miei fogli non capisco nemmeno cosa ho fatto! Mi scuso per non aver usato il plugin del forum per scrivere bene le formule, ma il fatto è che non so usare quelle sintassi e sono le 10 di sera e sono stanco morto, non è il miglior momento per imparare a scrivere bene al PC le formule matematiche.
Risposte
Scusa potresti far vedere i calcoli per imporre il delta pari a $0$?
Gli errori di conto che ho fatto nella versione iniziale di questo post sono segnalati e corretti in rosso. Grazie minomic per la correzione! 
In realtà non è difficile usare lo strumento per le formule matematiche. Se racchiudi tra due simboli di dollaro (quelli sopra il tasto del 4) le equazioni qui sopra, diventeranno "per magia" ben formattate. Non devi cambiare nulla
Ci sono varie strade, geometriche e analitiche, per trovare la soluzione. Siccome siamo nel forum di geometria, rimaniamo in tema.
Una (che definirei standard) muove dalla tua considerazione iniziale: $A=(0,1) \in \mathbb{R}$. Quindi l'equazione generica delle parabola (come dicevi tu) diventa $y=ax^2+bx+1$.
A questo punto, dobbiamo imporre la tangenza delle rette. Una delle proprietà delle rette tangenti ad una curva, è quella di avere (almeno) un'intersezione con la curva di molteplicità maggiore di 1. Se mettiamo a sistema le equazioni di retta e curva, deve risultare che una soluzione risulta doppia, cioè contata due volte. In questo caso:
${ ( y=ax^2+bx+1 ),( y=-4x ):}$
Quindi dobbiamo risolvere l'equazione $ax^2 + (b+4)x + 1 = 0$. Come si fa ad ottenere una soluzione doppia? Bisogna imporre $\Delta = 0$ (che viene spesso chiamata condizione di tangenza).
Quindi $(b+4)^2-4a=0$ è la condizione affinché la prima retta sia tangente.
Applichiamo ora lo stesso procedimento con la seconda retta:
${ ( y=ax^2+bx+1 ),( y=-x+\frac{3}{4} ):}$
$\Delta = 0 \Rightarrow (b+1)^2-7a=0$
Errore in questo calcolo. Il delta giusto sarebbe $(b+1)^2-a=0$
Adesso abbiamo due condizioni di tangenza, non ci resta che metterle a sistema e risolvere:
${ ( (b+4)^2-4a=0 ),( (b+1)^2-7a=0 ):}$
Il sistema corretto risulta: ${ ( (b+4)^2-4a=0 ),( (b+1)^2-a=0 ):}$
Secondo i miei calcoli risulta:
In realtà non è difficile usare lo strumento per le formule matematiche. Se racchiudi tra due simboli di dollaro (quelli sopra il tasto del 4) le equazioni qui sopra, diventeranno "per magia" ben formattate. Non devi cambiare nulla
Ci sono varie strade, geometriche e analitiche, per trovare la soluzione. Siccome siamo nel forum di geometria, rimaniamo in tema.
Una (che definirei standard) muove dalla tua considerazione iniziale: $A=(0,1) \in \mathbb{R}$. Quindi l'equazione generica delle parabola (come dicevi tu) diventa $y=ax^2+bx+1$.
A questo punto, dobbiamo imporre la tangenza delle rette. Una delle proprietà delle rette tangenti ad una curva, è quella di avere (almeno) un'intersezione con la curva di molteplicità maggiore di 1. Se mettiamo a sistema le equazioni di retta e curva, deve risultare che una soluzione risulta doppia, cioè contata due volte. In questo caso:
${ ( y=ax^2+bx+1 ),( y=-4x ):}$
Quindi dobbiamo risolvere l'equazione $ax^2 + (b+4)x + 1 = 0$. Come si fa ad ottenere una soluzione doppia? Bisogna imporre $\Delta = 0$ (che viene spesso chiamata condizione di tangenza).
Quindi $(b+4)^2-4a=0$ è la condizione affinché la prima retta sia tangente.
Applichiamo ora lo stesso procedimento con la seconda retta:
${ ( y=ax^2+bx+1 ),( y=-x+\frac{3}{4} ):}$
$\Delta = 0 \Rightarrow (b+1)^2-7a=0$
Errore in questo calcolo. Il delta giusto sarebbe $(b+1)^2-a=0$
Adesso abbiamo due condizioni di tangenza, non ci resta che metterle a sistema e risolvere:
${ ( (b+4)^2-4a=0 ),( (b+1)^2-7a=0 ):}$
Il sistema corretto risulta: ${ ( (b+4)^2-4a=0 ),( (b+1)^2-a=0 ):}$
Secondo i miei calcoli risulta:
- [*:13b44h65]$a=11-4 \sqrt(7)$ e $b=-2(4-sqrt(7))$[/*:m:13b44h65]
[*:13b44h65]$a=11+4 \sqrt(7)$ e $b=-2(4+sqrt(7))$[/*:m:13b44h65][/list:u:13b44h65]
I calcoli corretti, dunque, danno come risultato:
- [*:13b44h65]$a=1$ e $b=-2$[/*:m:13b44h65]
[*:13b44h65]$a=9$ e $b=2$[/*:m:13b44h65][/list:u:13b44h65]
Ciao, il metodo descritto da mgiaff è corretto. C'è solo un errore nei calcoli, e precisamente nel secondo $Delta$.
Il sistema corretto è ${(b^2+8b+16-4a=0), (b^2+2b+1-a=0):}$.
Faccio la differenza membro a membro e ottengo $6b+15-3a=0 rarr a=2b+5$ che vado a sostituire nella seconda, arrivando a $b^2 - 4 = 0 rarr b = +- 2$. Per sostituzione si ricava la $a$.
Soluzione finale: ${(a=1), (b=-2):} vv {(a=9), (b=2):}$ cioè gli stessi valori del tuo libro.
Fammi sapere se hai dei dubbi.
Il sistema corretto è ${(b^2+8b+16-4a=0), (b^2+2b+1-a=0):}$.
Faccio la differenza membro a membro e ottengo $6b+15-3a=0 rarr a=2b+5$ che vado a sostituire nella seconda, arrivando a $b^2 - 4 = 0 rarr b = +- 2$. Per sostituzione si ricava la $a$.
Soluzione finale: ${(a=1), (b=-2):} vv {(a=9), (b=2):}$ cioè gli stessi valori del tuo libro.
Fammi sapere se hai dei dubbi.
Confermo nel metodo di mgiaff e nei risultati di minomic
Grazie delle correzioni ragazzi Quando si fanno errori di segno è sempre sgradevole 
Quando si fanno errori di segno è sempre sgradevole
No, ho capito, grazie a tutti. Purtroppo sono riuscito a prendere comunque 3 nella verifica, nonostante avessi anche studiato parecchio. Che palle. Me ne farò una ragione, comunque grazie a tutti gentilissimi.
Se posso permettermi, ti consiglio di non darti per vinto e di cercare di sistemare il prima possibile i punti del programma dove sai di non sapere. Ti accorgerai anche presto che in matematica non conta tanto la quantità, quanto la qualità dello studio.
Questo forum è un ottimo luogo per chiedere aiuti a capire la teoria, a risolvere gli esercizi e trovare spunti e nuovi materiali. Se fossi in te lo sfrutterei
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