Equazione di una conica date due tangenti ed un punto

[glorietta2]

Ciao a tutti sono cosi stressante magari perchè sto risolvendo temi d'esame di geometria 2 e quindi ho un sacco di domande da fare.
Allora questo tema d'esame dice:

Nel piano euclideo reale in cui è fissato un riferimento cartesiano ortogonale determinare un'equazione della conica C tangente a r: x+y-1=0 in A=(1 ; 0) e ad s: x+y-5= 0 IN B=(3 ; 2) e passante per C=(1 ; 1), riconoscere tale conica e studiarla.

Allor aio ho pensato di costruire un fascio di coniche bitangente dove ho due coniche degeneri una costituita dalla tangente in A e l dalla tangente in B , l'altra costituita dalla retta AB contata due volte.
Quindi avrò C: (x+y+1)(x+y+5); D: $\bar{AB}$: $(x-1)/(3-1)$=$(y-0)/(2-0)$

però mi sorge una domanda spontanea anche in $E_3$R si scrive cosi la retta passante per due punti?
Poi calcolo il fascio di coniche con un parametro che chiamerò k e vi sostituisco dentro il punto C=(1;1;1) trovo cosi il parametro k ed ho la mia conica cercata.
Poi per studiarla utilizzo i passaggi per eventuali assi, asintoti e centri.

[mod="Alexp"]Ho modificato il titolo.
Si prega, in futuro, di non usare il maiscolo, per una questione di visibilità generale e ordine.

Grazie per la compresione.[/mod]

[gugo82]

Il primo consiglio che sento di darti è: ripassa il Regolamento, soprattutto il punto 3.5.

[franced]

"glorietta":
Nel piano euclideo reale in cui è fissato un riferimento cartesiano ortogonale determinare un'equazione della conica C tangente a r: x+y-1=0 in A=(1 ; 0) e ad s: x+y-5= 0 IN B=(3 ; 2) e passante per C=(1 ; 1), riconoscere tale conica e studiarla.

Scrivi l'equazione del fascio di coniche bitangenti:

$(x+y-1)(x+y-5) + lambda (y-x+1)^2 = 0$

e imponi il passaggio per $C(1;1)$.

Si ottiene:

$(1+1-1) (1+1-5) + lambda (1-1+1)^2 = 0$

da cui

$lambda = 3$ .

La conica è pertanto

$(x+y-1)(x+y-5) + 3 * (y-x+1)^2 = 0$

ovvero

$4 x^2 - 4 xy + 4 y^2 - 12 x + 8 = 0$ ;

semplificando:

$x^2 - xy + y^2 - 3 x + 2 = 0$ .

Si tratta di un'ellisse.

[franced]

Gli assi di tutte le coniche del fascio

$(x+y-1)(x+y-5) + lambda (y-x+1)^2 = 0$

sono:

1) la retta $AB$, ovvero $y - x + 1 = 0$

2) la retta $x + y - 3 = 0$ (il luogo di punti equidistanti dalle rette $x+y-1=0$ e $x+y-5=0$) .

Il centro di tutte le coniche del fascio è il punto $(2,1)$, trovato intersecando i due assi.


E' chairo che l'ellisse trovata ha questi elementi di simmetria.

[glorietta2]

Ho risolto tutto l'esercizio e penso sia abbastanza corretto. Se qualcuno ha voglia di dargli un'occhiata non mi offendo!!!

Si tratta di un fascio di coniche bitangenti dove abbiamo due coniche degeneri una rappresentata dalla tangente nel punto A e dalla tangente nel punto B e l'altra rappresentata dalla retta $\bar{AB}$

$C_1$ : (x+y-1)(x+y-5)

$C_2$ : $(y-x+1)^2$;

Adesso studio il fascio di coniche e faccio vedere solo l'mpostazione:

F: (x+y-1)(x+y-5)+k($(y-x+1)^2$;

Adesso sostituisco il punto C(1;1) per trovare k e risulta che k=3;
k=3 lo sostituisco nel fascio e trovo l'equazione della conica che risulta:

C: $x^2$+$y^2$-xy-3x+2=0

Arrivati a questo punto scriviamo la matrice della nostra conica:

M: $((1,-1/2,-3/2),(-1/2,1,0),(-3/2,0,2))$

Ne calcolo il determinate che risulta diverso da zero e quindi capisco che ho a che fare con una conica generale e non degenere.
In particolare ho a che fare con un'ellisse.

Procedo a calcolarne il centro dove pongo a sistema le derivate parziali della conica rispetto ad x e rispetto ad y:

$\{(2x - y -3=0),(2y - x=0):}$ $\{(y=1),(x=2):}$

Quindi il centro della conica che chiamo C vale C(2;1);

Ora procedo a calcolare gli assi utilizzando la seguente formula:

$a_{12}$ $l^2$ +($a_{22}$ - $a_{11}$)lm - $a_{12}$ $m^2$;

Vado a sostituire i valori della matrice e risulta che l=m ed l=-m;
A questo punto imposto la polare per trovare la vera e propria equazione degli assi:

$P_1$: [x y 1] $((1,-1/2,-3/2),(-1/2,1,0),(-3/2,0,2))$ $|(1) , (1) , (0)|$

da cui risulta che il primo asse è x + y - 3 = 0;

$P_2$: [x y 1] $((1,-1/2,-3/2),(-1/2,1,0),(-3/2,0,2))$ $|(1) , (-1) , (0)|$

da cui risulta che il secondo asse è x - y -1 = 0.

[franced]

"glorietta":
Si tratta di un fascio di coniche bitangenti dove abbiamo due coniche degeneri una rappresentata dalla tangente nel punto A e dalla tangente nel punto B e l'altra rappresentata dalla retta $\bar{AB}$

$C_1$ : (x+y-1)(x+y-5)

$C_2$ : $(y-x+1)^2$;

Adesso studio il fascio di coniche e faccio vedere solo l'mpostazione:

F: (x+y-1)(x+y-5)+k($(y-x+1)^2$;

Adesso sostituisco il punto C(1;1) per trovare k e risulta che k=3;
k=3 lo sostituisco nel fascio e trovo l'equazione della conica che risulta:

C: $x^2$+$y^2$-xy-3x+2=0

Arrivati a questo punto scriviamo la matrice della nostra conica:

M: $((1,-1/2,-3/2),(-1/2,1,0),(-3/2,0,92))$

Ne calcolo il determinate che risulta diverso da zero e quindi capisco che ho a che fare con una conica generale e non degenere.
In particolare ho a che fare con un'ellisse.

Procedo a calcolarne il centro dove pongo a sistema le derivate parziali della conica rispetto ad x e rispetto ad y:

$\{(2x - y -3=0),(2y - x=0):}$ $\{(y=1),(x=0):}$

Quindi il centro della conica che chiamo C vale C(2;1);

Ora procedo a calcolare gli assi utilizzando la seguente formula:

$a_{12}$ $l^2$ +($a_{22}$ - $a_{11}$)lm - $a_{12}$ $m^2$;

Vado a sostituire i valori della matrice e risulta che l=m ed l=-m;
A questo punto imposto la polare per trovare la vera e propria equazione degli assi:

$P_1$: [x y 1] $((1,-1/2,-3/2),(-1/2,1,0),(-3/2,0,92))$ $|(1) , (1) , (0)|$

da cui risulta che il primo asse è x + y - 3 = 0;

$P_2$: [x y 1] $((1,-1/2,-3/2),(-1/2,1,0),(-3/2,0,92))$ $|(1) , (-1) , (0)|$

da cui risulta che il secondo asse è x - y -1 = 0.

C'è quel 92 nella matrice che è un chiaro errore di battitura..
Quando calcoli il centroo hai scritto $x=0$, mentre è $x=2$, come infatti poi hai riportato.

Per il resto tutto ok.

Consiglio: se ti trovi delle frazioni nella matrice della conica ti conviene moltiplicare
per il m.c.m. dei denominatori così hai tutti i coefficienti interi.

Un'altra osservazione: si tratta di un'ellisse reale (quindi non immaginaria) in quanto è
ha almeno un punto reale.
Sembra un'osservazione ovvia, ma spesso quando si studia un fascio vogliamo sapere
se ci sono ellissi immaginarie..