Equazione di una circonferenza passante per un punto e tangente ad una retta
Ciao a tutti,
Ho da risolvere il seguente esercizio:
Determinare l' equazione della circonferenza C passante per il Punto P (3,5) e tangente nell' origine alla retta di equazione $ x-3y=0 $
Per ottenere la prima condizione ho usato la condizione di appartenenza di P alla circonferenza con la sostituzione.
Per ottenere la seconda ho sostituito le coordinate dell origine nella equazione della circonferenza.
Poiché i valori che mi servono per determinare sono 3 cioè le coordinate del centro e $ gamma $ ho pensato di sfruttare il fatto che la distanza tra centro e P è uguale alla distanza tra il centro e l' origine:
$ (alpha -3)^2 +(beta -5)^2 =(alpha-3beta)^2/10 $
Il problema è che non riesco ad annullare i quadrati e alla fine ottengo il sistema:
$ 6alpha+10beta+gamma+34 = 0 $
$ gamma = 0 $
$ (alpha -3)^2 +(beta -5)^2 =(alpha-3beta)^2/10 $
Grazie 10000 in anticipo
Ho da risolvere il seguente esercizio:
Determinare l' equazione della circonferenza C passante per il Punto P (3,5) e tangente nell' origine alla retta di equazione $ x-3y=0 $
Per ottenere la prima condizione ho usato la condizione di appartenenza di P alla circonferenza con la sostituzione.
Per ottenere la seconda ho sostituito le coordinate dell origine nella equazione della circonferenza.
Poiché i valori che mi servono per determinare sono 3 cioè le coordinate del centro e $ gamma $ ho pensato di sfruttare il fatto che la distanza tra centro e P è uguale alla distanza tra il centro e l' origine:
$ (alpha -3)^2 +(beta -5)^2 =(alpha-3beta)^2/10 $
Il problema è che non riesco ad annullare i quadrati e alla fine ottengo il sistema:
$ 6alpha+10beta+gamma+34 = 0 $
$ gamma = 0 $
$ (alpha -3)^2 +(beta -5)^2 =(alpha-3beta)^2/10 $
Grazie 10000 in anticipo
Risposte
La circonferenza passa per $P$ e passa per $O$.
Dunque il vettore $vec(OP)$ individuanuna corda sulla circonferenza.
È ben noto che la retta ortogonale alla tangente e passante per il punto di tangenza, passi per il centro.
È anche noto come la retta ortogonale a una corda nel suo punto medio passi anch'essa per il centro.
La retta $t: x-3y=0$ ha vettore direttore $v(3,1)$. Un vettore ad esso ortogonale rispetto al ps standard sarà $w(-1,3)$
Dunque la retta $s: O+$ è ortogonale alla retta $t$ e passante per il centro della circonferenza.
Tale retta sarà $s: 3x+y=0$
Ora il punto medio del segmento $OP$ ha coordinate semplicemente $M(3/2,5/2)$
Il vettore $(P-O) (3,5)$ e quindi un vettore ortogonale sarà $u(-5,3)$
Quindi la retta $r: M+$ sarà proprio $r: 3(x-3/2)+5(y-5/2)=3x+5y-17=0$
$rcaps: {(3x+5y-17=0),(3x+y=0):} => {(x =-17/12),(y=17/4):}$
Pertanto il centro della circonferenza è il punto $C(-17/12,17/4)$
Il raggio sarà $r=d(C,O)=sqrt(2890)/12$
E in fine $gamma: (x+17/12)^2+(y-17/4)^2=2890/144$
Dunque il vettore $vec(OP)$ individuanuna corda sulla circonferenza.
È ben noto che la retta ortogonale alla tangente e passante per il punto di tangenza, passi per il centro.
È anche noto come la retta ortogonale a una corda nel suo punto medio passi anch'essa per il centro.
La retta $t: x-3y=0$ ha vettore direttore $v(3,1)$. Un vettore ad esso ortogonale rispetto al ps standard sarà $w(-1,3)$
Dunque la retta $s: O+
Tale retta sarà $s: 3x+y=0$
Ora il punto medio del segmento $OP$ ha coordinate semplicemente $M(3/2,5/2)$
Il vettore $(P-O) (3,5)$ e quindi un vettore ortogonale sarà $u(-5,3)$
Quindi la retta $r: M+$ sarà proprio $r: 3(x-3/2)+5(y-5/2)=3x+5y-17=0$
$rcaps: {(3x+5y-17=0),(3x+y=0):} => {(x =-17/12),(y=17/4):}$
Pertanto il centro della circonferenza è il punto $C(-17/12,17/4)$
Il raggio sarà $r=d(C,O)=sqrt(2890)/12$
E in fine $gamma: (x+17/12)^2+(y-17/4)^2=2890/144$
Grazie
Ciao riprendo l argomento...
Posso sfruttare il teorema di Pitagora?
Cioè
$ CP^2 = PM^2 + CM^2 $ per ottenere l' equazione in $ alpha $ e $ beta $ mancante?
Ottengo
${ (6alpha +10beta-gamma-34=0),(gamma=0),((alpha-3)^2+(beta-5)^2 -(alpha -3/2)^2-(beta-5/2)^2-17/2=0):} $
Ho fatto i conti, e riesco ad eliminare i quadrati, ma non so se è giusto come ragionamento
Grazie 10000
Posso sfruttare il teorema di Pitagora?
Cioè
$ CP^2 = PM^2 + CM^2 $ per ottenere l' equazione in $ alpha $ e $ beta $ mancante?
Ottengo
${ (6alpha +10beta-gamma-34=0),(gamma=0),((alpha-3)^2+(beta-5)^2 -(alpha -3/2)^2-(beta-5/2)^2-17/2=0):} $
Ho fatto i conti, e riesco ad eliminare i quadrati, ma non so se è giusto come ragionamento
Grazie 10000
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