Equazione di un piano nello spazio: alcuni dubbi

[Cloudy1]

Ho la seguente proposizione:

Il piano $\pi$ è rappresentato è nel riferimento R da un sistema parametrico a coefficienti reali del tipo

${(x = x_0 + l s + l' t),(y = y_0 + m s + m' t),(z = z_0 + n s + n' t):}$

con $(l, m, n)$ e $(l', m', n')$ indipendenti ed $s$ e $t$ parametri reali.

Si dimostra nel seguente modo:

Sia $A(x_0, y_0, z_0)$ un punto del piano $\pi$ e siano $v(l, m, n)$ e $v'(l', m', n')$ due vettori liberi indipendenti paralleli al piano $\pi$. Detto $P(x, y, z)$ il generico punto dello spazio, si ha:

$P\in\pi\ \Leftrightarrow\ $ i vettori $AP$, $v$ e $v'$ applicati in $A$ sono complanari $\ \Leftrightarrow\ $ $AP$, $v$ e $v'$ sono dipendenti $\ \Leftrightarrow\ $ $AP$ dipende linearmente da $v$ e $v’$ $\ \Leftrightarrow\ $ (per l'isomorfismo coordinato associato ad Rv) $(x – x_0, y – y_0, z – z_0)$ dipende linearmente da $(l, m, n)$ ed $(l’, m’, n’)$ $\ \Leftrightarrow\ $

$EE \ s, t\in RR :\ (x – x_0, y – y_0, z – z_0) = s (l, m, n) + t (l', m' ,n')$

I miei dubbi sono:

1)"vettori applicati in $A$ " significa che i vettori $AP$, $v$ e $v'$ hanno lo stesso punto di applicazione cioè $A$??
2)Ammettiamo che abbiano lo stesso punto di applicazione $A$ che appartiene al piano $\pi$, allora i vettori sono complanari...ma per ipotesi i vettori $v$ e $v'$ non erano paralleli al piano?...e paralleli non significa che i vettori non hanno alcun punto in comune col piano....come fanno ad essere complanari???

Aiutatemi...sono una frana in questa materia...

[mod="cirasa"]Ho messo tutte le formule (click) dove necessario.
Ti invito a consultare il link. La prossima volta cerca di farlo anche tu, come vedi il tuo messaggio appare molto più chiaro.
Inoltre, ho modificato il titolo del thread, mettendone uno attinente all'argomento trattato.

Benvenut* nel nostro forum [/mod]

[legendre]

e' vero i 2 vettori $v,v'$ sono linearmente dipendenti se e solo se sono paralleli,ma non significa che sono per forza complanari.La prima affermazione ti dice che '3' vettori $\vec(AP),v,v'$ sono linearmente dipendenti se e solo se sono complanari il che vuol dire se e solo se una volta applicati in uno "stesso punto" giacciono su uno stesso piano.

[Cloudy1]

se e solo se una volta applicati in uno "stesso punto" giacciono su uno stesso piano.

Ma questo piano è π?
Altrimenti perchè direbbe P ∈ π?

PS. Ho modificato la traccia...avevo saltato una parte