Equazione di un piano: date particolari condizioni
L'esercizio è: Fissato un riferimento cartesiano ortogonale , scrivere l'equazione del piano "alfa" passante per il punto A(1,0,-1), parallelo alla retta "r" di equazioni (x=t, y=2t, z=-t+1) e perpendicolare al piano "pi greco": $x-y-z=0$. Ragazzi qualcuno ha idea di come si svolga questo esercizio, perchè io non so da dove cominciare. Ringrazio tutti quelli che con pazienza possono spiegarmi passo passo il procedimento.
Risposte
Ciao!
Innanzitutto rendiamo chiari i dati. Siamo in un '' 3 ''- spazio, pertanto il piano puo' essere rappresentato con una sola equazione.
$alpha$: piano dato.
$A(1,0,-1)inalpha$.
$x=t$. Queste tre equazioni sono l'equazione parametrica della retta '' $r$ ''.
$y=2t$.
$z=-t+1$.
'' $r$ '' e' parallela ad '' $alpha$ ''.
$pi:x-y-z=0$.
'' $pi$ '' e' il piano perpendicolare ad '' $alpha$ ''.
SOLUZIONE.
Evidentemente dobbiamo usare il piano perpendicolare e la retta parallela. C'e' l'equazione '' $(X-A)N=0$ '' da cui '' $XN=AN$ '' che rende l'equazione di un '' n ''- spazio in un '' n+1 ''- spazio ( in questo caso il piano nello spazio tridimensionale ).Insomma, e' il prodotto scalare tra due vettori perpendicolari. Nell'equazione:
$X(x,y,z)inalpha$. Ovvero '' $X$ '' e' il generico punto appartenente ad '' $alpha$ ''.
$N$: vettore perpendicolare ad '' $alpha$ ''.
Viene da dire che '' $Ninpi$ '' ( data la perpendicolarita' ) e questo possiamo porlo; ma non necessariamente e' vero che '' $N$ '' sia perpendicolare ad '' $alpha$ '' per il semplice fatto di appartenere a '' $pi$ '', il piano perpendicolare ad '' $alpha$ '' ( come esempio verifica tu stesso visualizzando ).
Ma abbiamo '' $r$ '' che e' parallela ad '' $alpha$ ''. In questo caso ogni vettore appartenente alla retta sara' necessariamente paralelo ad '' $alpha$ '' ( solo una direzione e' possibile in questo oggetto ). Allora dobbiamo scegliere '' $N$ '' in modo tale che sia perpendicolare sia ad '' $alpha$ '' che a '' $r$ '', quindi due prodotti scalari nulli. Tuttavia ci serve un vettore appartenente alla retta, e lo si puo' ricavare facilmente esplicitando il parametro '' $t$ '' ( conviene scegliere numeri semplici ); ricaveremo due punti, e li sottrarremo in modo da ottenere il vettore '' $V$ '' parallelo ad '' $alpha$ ''.
Sia:
$t_0=0$. Allora: $P_0(0,0,1)$.
$t_1=1$. Allora: $P_1(1,2,0)$.
Dalla differenza otteniamo: $V=(1,2,-1)$.
Adesso ci serve il generico vettore '' $Ninpi$ ''. Possiamo scegliere due valori e il terzo sara' ricavato di conseguenza ( dall'equazione di questo piano ). Siano tali valori: $x=k_1,y=k_2$.
Allora: $z=k_1-k_2$.
Quindi: $N=(k_1,k_2,k_1-k_2)$.
Ora non ci resta che porre i prodotti scalari:
$VN=0$.
$(X-A)N=0$. Quest'ultima equazione diventa: $XA=XN$.
Ricavi l'equazione del piano: $alpha:x+z=0$.
Innanzitutto rendiamo chiari i dati. Siamo in un '' 3 ''- spazio, pertanto il piano puo' essere rappresentato con una sola equazione.
$alpha$: piano dato.
$A(1,0,-1)inalpha$.
$x=t$. Queste tre equazioni sono l'equazione parametrica della retta '' $r$ ''.
$y=2t$.
$z=-t+1$.
'' $r$ '' e' parallela ad '' $alpha$ ''.
$pi:x-y-z=0$.
'' $pi$ '' e' il piano perpendicolare ad '' $alpha$ ''.
SOLUZIONE.
Evidentemente dobbiamo usare il piano perpendicolare e la retta parallela. C'e' l'equazione '' $(X-A)N=0$ '' da cui '' $XN=AN$ '' che rende l'equazione di un '' n ''- spazio in un '' n+1 ''- spazio ( in questo caso il piano nello spazio tridimensionale ).Insomma, e' il prodotto scalare tra due vettori perpendicolari. Nell'equazione:
$X(x,y,z)inalpha$. Ovvero '' $X$ '' e' il generico punto appartenente ad '' $alpha$ ''.
$N$: vettore perpendicolare ad '' $alpha$ ''.
Viene da dire che '' $Ninpi$ '' ( data la perpendicolarita' ) e questo possiamo porlo; ma non necessariamente e' vero che '' $N$ '' sia perpendicolare ad '' $alpha$ '' per il semplice fatto di appartenere a '' $pi$ '', il piano perpendicolare ad '' $alpha$ '' ( come esempio verifica tu stesso visualizzando ).
Ma abbiamo '' $r$ '' che e' parallela ad '' $alpha$ ''. In questo caso ogni vettore appartenente alla retta sara' necessariamente paralelo ad '' $alpha$ '' ( solo una direzione e' possibile in questo oggetto ). Allora dobbiamo scegliere '' $N$ '' in modo tale che sia perpendicolare sia ad '' $alpha$ '' che a '' $r$ '', quindi due prodotti scalari nulli. Tuttavia ci serve un vettore appartenente alla retta, e lo si puo' ricavare facilmente esplicitando il parametro '' $t$ '' ( conviene scegliere numeri semplici ); ricaveremo due punti, e li sottrarremo in modo da ottenere il vettore '' $V$ '' parallelo ad '' $alpha$ ''.
Sia:
$t_0=0$. Allora: $P_0(0,0,1)$.
$t_1=1$. Allora: $P_1(1,2,0)$.
Dalla differenza otteniamo: $V=(1,2,-1)$.
Adesso ci serve il generico vettore '' $Ninpi$ ''. Possiamo scegliere due valori e il terzo sara' ricavato di conseguenza ( dall'equazione di questo piano ). Siano tali valori: $x=k_1,y=k_2$.
Allora: $z=k_1-k_2$.
Quindi: $N=(k_1,k_2,k_1-k_2)$.
Ora non ci resta che porre i prodotti scalari:
$VN=0$.
$(X-A)N=0$. Quest'ultima equazione diventa: $XA=XN$.
Ricavi l'equazione del piano: $alpha:x+z=0$.
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