Equazione dell'immagine di un'applicazione lineare
Salve,
ho un'applicazione lineare $ f : cc(R)^3 rarr cc(R)^3 $ rappresentata dalla seguente matrice $ A = ( ( 0 , 1 , 2 ),( 1, 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $ rispetto alla sua base canonica
L'esercizio chiede di determinare le equazioni dell'immagine e del nucleo di f.
La cosa che non mi è chiara è il procedimento per arrivare a determinare le equazioni:
sò che per prima cosa bisogna trovare i vettori che 'generano' lo spazio dell'immagine, quindi ho trovato: $ Im f=Span (( 1 ),( 1 ),( 1 )), (( 2 ),( 1 ),( 1 )) $
poi per trovare le equazioni cartesiane, (da come è scritto nel libro) devo trovare le equazioni parametriche, in modo tale da poter passare all'equazione cartesiana definitiva dell'immagine di f; ma non riesco ad andare avanti!
Rigrazio anticipatamente per le risposte.
ho un'applicazione lineare $ f : cc(R)^3 rarr cc(R)^3 $ rappresentata dalla seguente matrice $ A = ( ( 0 , 1 , 2 ),( 1, 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $ rispetto alla sua base canonica
L'esercizio chiede di determinare le equazioni dell'immagine e del nucleo di f.
La cosa che non mi è chiara è il procedimento per arrivare a determinare le equazioni:
sò che per prima cosa bisogna trovare i vettori che 'generano' lo spazio dell'immagine, quindi ho trovato: $ Im f=Span (( 1 ),( 1 ),( 1 )), (( 2 ),( 1 ),( 1 )) $
poi per trovare le equazioni cartesiane, (da come è scritto nel libro) devo trovare le equazioni parametriche, in modo tale da poter passare all'equazione cartesiana definitiva dell'immagine di f; ma non riesco ad andare avanti!
Rigrazio anticipatamente per le risposte.
Risposte
La matrice $A$ ha rango 2 : i due vettori $(1,1,1) ,(2,1,1) $ sono linearmente indipendenti e sono una base di $Im f $ che ha dimensione $ 2 =r(A) $.
Il vettore generico appartenente a $ Im f $ sarà dato da $ alpha ( 1,1,1)+ beta (2,1,1 ) = ( alpha+2 beta, alpha+beta, alpha +beta) $ con $(alpha, beta in RR )$.
Di conseguenza :
$x = alpha +2 beta $
$y= alpha+beta $
$z = alpha+beta $.
Ne consegue $y=z $ quindi $ y-z =0 $ è l'equazione cartesiana di $ Im f $ e naturalmente $x $ qualsiasi e rappresenta un piano passante per l'origine.
Per il nucleo che avrà dimensione $ 3 -2 = 1$ basterà risolvere il sistema omogeneo :
$y+2z=0 $
$ x+y+z=0$
che ha soluzione : $ker f = k(1,-2,1)$ con $ k in RR $ e rappresenta una retta per l'origine .
Dalla rappresentazione parametrica della retta
$x=k$
$y=-2k$
$z=k $ si ottiene la rappresentazione cartesiana
$x=z $
$2x+y=0 $ .
Il vettore generico appartenente a $ Im f $ sarà dato da $ alpha ( 1,1,1)+ beta (2,1,1 ) = ( alpha+2 beta, alpha+beta, alpha +beta) $ con $(alpha, beta in RR )$.
Di conseguenza :
$x = alpha +2 beta $
$y= alpha+beta $
$z = alpha+beta $.
Ne consegue $y=z $ quindi $ y-z =0 $ è l'equazione cartesiana di $ Im f $ e naturalmente $x $ qualsiasi e rappresenta un piano passante per l'origine.
Per il nucleo che avrà dimensione $ 3 -2 = 1$ basterà risolvere il sistema omogeneo :
$y+2z=0 $
$ x+y+z=0$
che ha soluzione : $ker f = k(1,-2,1)$ con $ k in RR $ e rappresenta una retta per l'origine .
Dalla rappresentazione parametrica della retta
$x=k$
$y=-2k$
$z=k $ si ottiene la rappresentazione cartesiana
$x=z $
$2x+y=0 $ .
Tutto chiaro ora grazie.
Ecco un altro metodo, migliore, per determinare l'equazione cartesiana di $Im f $ che è un piano passante per l'origine.
Faccio sempre riferimento allo stesso esercizio.
Chiamo $ barv_1 = ( 1,1,1) ; bar v_2 =(2,1,1) $ i due vettori linearmente indipendenti che sono la seconda e terza colonna della matrice $A$ e sono una base di $Im f $.
Considero ora un vettore ortogonale ai due vettori $bar v_1,bar v_2 $ : senz'altro lo è il vettore $bar v_1 ^^bar v_2 $ che chiamerò $bar v $.
Quindi $ barv= det ((bari,bar j,bar k),(1,1,1),(2,1,1)) = 0*bar i+barj-bar k $ ; pertanto $bar v=(0,1,-1) $.
Tale vettore è perpedicolare al piano cercato cioè ad $Im f $ .
L'equazione del piano è quindi data da $bar(PO) *bar v =0 $ ( essendo * il prodotto scalare e $O$ l'origine).
Sviluppando l'equazione vettoriale si ottiene : $ (x,y,z)*(0,1,-1)= y-z =0 $ .
Faccio sempre riferimento allo stesso esercizio.
Chiamo $ barv_1 = ( 1,1,1) ; bar v_2 =(2,1,1) $ i due vettori linearmente indipendenti che sono la seconda e terza colonna della matrice $A$ e sono una base di $Im f $.
Considero ora un vettore ortogonale ai due vettori $bar v_1,bar v_2 $ : senz'altro lo è il vettore $bar v_1 ^^bar v_2 $ che chiamerò $bar v $.
Quindi $ barv= det ((bari,bar j,bar k),(1,1,1),(2,1,1)) = 0*bar i+barj-bar k $ ; pertanto $bar v=(0,1,-1) $.
Tale vettore è perpedicolare al piano cercato cioè ad $Im f $ .
L'equazione del piano è quindi data da $bar(PO) *bar v =0 $ ( essendo * il prodotto scalare e $O$ l'origine).
Sviluppando l'equazione vettoriale si ottiene : $ (x,y,z)*(0,1,-1)= y-z =0 $ .
Attenzione che però quest'ultimo metodo funziona solo in $\RR^3$.
[O, per dirla con più finezza, in un'Algebra di Lie
]
[O, per dirla con più finezza, in un'Algebra di Lie
]
Giusta precisazione, anche se mi sfugge il riferimento alle Algebre di Lie 
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