Equazione della parabola con asse parallelo a i+j
Salve, avrei bisogno di aiuto per risolvere un esercizio che riguarda la parabola.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
"Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale R:=(O,{i,j}), si determini l'equazione della parabola di vertice il punto V(-2,2), asse parallelo a i+j e passante per il punto P(0,2)".
La cosa che mi rende perplessa, bloccandomi, è proprio la frase "asse parallelo a i+j" poichè, trattandosi della somma di due versori, non so quale equazione della parabola prendere come riferimento. Risolto questo, infatti, mi risulterebbe semplice continuare, mi basterebbe semplicemente trovare i valori dei parametri a, b e c che individuano la parabola cercata mettendo a sistema le coordinate del vertice con l'equazione che esce imponendo il passaggio della parabola per P.
Sento che si tratta di una cosa molto più elementare di quanto immagino ma ho cercato in lungo e in largo e non so darmi una risposta. Confido in un vostro aiuto e vi ringrazio in anticipo.
-Cattleya-
Il testo dell'esercizio è il seguente:
"Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale R:=(O,{i,j}), si determini l'equazione della parabola di vertice il punto V(-2,2), asse parallelo a i+j e passante per il punto P(0,2)".
La cosa che mi rende perplessa, bloccandomi, è proprio la frase "asse parallelo a i+j" poichè, trattandosi della somma di due versori, non so quale equazione della parabola prendere come riferimento. Risolto questo, infatti, mi risulterebbe semplice continuare, mi basterebbe semplicemente trovare i valori dei parametri a, b e c che individuano la parabola cercata mettendo a sistema le coordinate del vertice con l'equazione che esce imponendo il passaggio della parabola per P.
Sento che si tratta di una cosa molto più elementare di quanto immagino ma ho cercato in lungo e in largo e non so darmi una risposta. Confido in un vostro aiuto e vi ringrazio in anticipo.
-Cattleya-
Risposte
Parti da una parabola in forma canonica con asse l'asse $y$ e vertice in $O=(0,0)$, i.e. $ax^2 - y = 0$, e poi trasformala fino ad acchiappare quel che ti serve.
Innanzitutto, ti serve una rotazione per aggiustare l'asse (inizialmente parallelo al versore $mathbf(j)$) rendendolo parallelo a $mathbf(i) + mathbf(j)$, i.e. una rotazione di $pi/4$ in senso orario.
Fatto ciò hai una parabola con l'asse giusto, ma ancora col vertice in $O$; quindi bisogna applicare una traslazione per portare $O$ in $V$.
Fatto ciò hai una parabola con l'asse giusto, il vertice giusto, ma ti manca ancora che passi per $P$; quindi bisogna imporre il passaggio per $P$ (in modo da determinare il valore del parametro $a$).
Innanzitutto, ti serve una rotazione per aggiustare l'asse (inizialmente parallelo al versore $mathbf(j)$) rendendolo parallelo a $mathbf(i) + mathbf(j)$, i.e. una rotazione di $pi/4$ in senso orario.
Fatto ciò hai una parabola con l'asse giusto, ma ancora col vertice in $O$; quindi bisogna applicare una traslazione per portare $O$ in $V$.
Fatto ciò hai una parabola con l'asse giusto, il vertice giusto, ma ti manca ancora che passi per $P$; quindi bisogna imporre il passaggio per $P$ (in modo da determinare il valore del parametro $a$).
Ho fatto tutti i calcoli ma l'equazione che ne esce risulta enorme e temo di aver sbagliato qualcosa.
Se non reco eccessivo disturbo, potrebbe controllare in che cosa ho sbagliato?
Innanzitutto la matrice di rotazione intorno all'origine di angolo $ pi /4 $ dovrebbe essere
$ [ ( x^{\prime} ),( y^{\prime}) ] =[ ( cos(pi/4) , sen(pi/4) ),( -sen(pi/4) , cos(pi/4)) ] [ ( x ),( y ) ] $
e dal sistema che ne ricavo, sostituendo $ cos (pi/4)=sin (pi/4)=sqrt(2)/2 $, ottengo:
$ { ( x=(x^{\prime})/sqrt(2) - (y^{\prime})/sqrt(2) ),( y= (x^{\prime})/sqrt(2) + (y^{\prime})/sqrt(2) ):} $
sostituisco i valori di x e di y nell'equazione della parabola iniziale che mi ha fornito lei e ottengo:
$ a(x^{\prime}/sqrt(2) -y^{\prime}/sqrt(2))^2 -y^{\prime}/sqrt(2) -x^{\prime}/sqrt(2) =0 $
proseguo facendo la traslazione e sostituisco $ x^{\prime} $ e $ y^{\prime} $ della precedente equazione con:
$ { ( x^{\prime}=X-2 ),( x^{\prime}=Y+2 ):} $
e ottengo: $ a((X-2)/2+(Y+2)/2)^2-(Y+2)/sqrt(2) -(X-2)/sqrt(2)=0 $ (*)
a questo punto sostituisco la X e la Y con i valori di P=(0,1) e trovo il valore di a per poi sostituirlo nell'equazione (*)
Se non reco eccessivo disturbo, potrebbe controllare in che cosa ho sbagliato?
Innanzitutto la matrice di rotazione intorno all'origine di angolo $ pi /4 $ dovrebbe essere
$ [ ( x^{\prime} ),( y^{\prime}) ] =[ ( cos(pi/4) , sen(pi/4) ),( -sen(pi/4) , cos(pi/4)) ] [ ( x ),( y ) ] $
e dal sistema che ne ricavo, sostituendo $ cos (pi/4)=sin (pi/4)=sqrt(2)/2 $, ottengo:
$ { ( x=(x^{\prime})/sqrt(2) - (y^{\prime})/sqrt(2) ),( y= (x^{\prime})/sqrt(2) + (y^{\prime})/sqrt(2) ):} $
sostituisco i valori di x e di y nell'equazione della parabola iniziale che mi ha fornito lei e ottengo:
$ a(x^{\prime}/sqrt(2) -y^{\prime}/sqrt(2))^2 -y^{\prime}/sqrt(2) -x^{\prime}/sqrt(2) =0 $
proseguo facendo la traslazione e sostituisco $ x^{\prime} $ e $ y^{\prime} $ della precedente equazione con:
$ { ( x^{\prime}=X-2 ),( x^{\prime}=Y+2 ):} $
e ottengo: $ a((X-2)/2+(Y+2)/2)^2-(Y+2)/sqrt(2) -(X-2)/sqrt(2)=0 $ (*)
a questo punto sostituisco la X e la Y con i valori di P=(0,1) e trovo il valore di a per poi sostituirlo nell'equazione (*)
La prima sostituzione è corretta.
La seconda è:
$ { ( x'=X-2 ),( y'=Y+2 ):} $
quindi:
$ { ( X=x'+2 ),( Y=y'-2 ):} $
Alla fine si ottiene: $x^2+y^2+6x-10y-2xy+16=0$
https://www.desmos.com/calculator/a68x6nlafz
La seconda è:
$ { ( x'=X-2 ),( y'=Y+2 ):} $
quindi:
$ { ( X=x'+2 ),( Y=y'-2 ):} $
Alla fine si ottiene: $x^2+y^2+6x-10y-2xy+16=0$
https://www.desmos.com/calculator/a68x6nlafz
Grazie mille davvero per la pazienza ma per quanto riguarda la traslazione non capisco che sostituzione devo fare poiché ho sostituito $ x^{\prime} $ e $ y^{\prime} $ con $ { ( x^{\prime}=X-2 ),( y^{\prime}=Y+2 ):} $ e, dopo aver trovato anche $ a $ non mi trovo con il suo risultato finale...
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