Equazione della conica dato un asse
Salve a tutti...non riesco a risolvere proprio un quesito...Come faccio a trovare un'equazione della conica data l'equazione dell'asse???Qualcuno mi potrebbe spiegare i passaggi??Io so solo che lì asse di una conica, è un diametro ortogonale alla direzione di cui è coniugato.Grazie mille!!!
Risposte
"glorietta":
Salve a tutti...non riesco a risolvere proprio un quesito...Come faccio a trovare un'equazione della conica data l'equazione dell'asse???Qualcuno mi potrebbe spiegare i passaggi??Io so solo che lì asse di una conica, è un diametro ortogonale alla direzione di cui è coniugato.Grazie mille!!!
Se conosci solo l'asse non c'è una sola soluzione..
Scrivi un esercizio e magari vedi come si deve ragionare.
Allora sono partita a scrivere l'equazione di un fascio della conica che risulta
F: $x^2$(2+k)+$y^2$+2xy-2x(1+k)-y+k=0
Ho costruito la matrice:
M= $((2+k, 1, -1-k),(1, 1, -1/2),(-1-k, -1/2, k))$
Determinare in'equazione della conica di C che ha come asse la retta a: x-y-1=0.
F: $x^2$(2+k)+$y^2$+2xy-2x(1+k)-y+k=0
Ho costruito la matrice:
M= $((2+k, 1, -1-k),(1, 1, -1/2),(-1-k, -1/2, k))$
Determinare in'equazione della conica di C che ha come asse la retta a: x-y-1=0.
"glorietta":
Allora sono partita a scrivere l'equazione di un fascio della conica che risulta
F: $x^2$(2+k)+$y^2$+2xy-2x(1+k)-y+k=0
Ho costruito la matrice:
M= $((2+k, 1, -1-k),(1, 1, -1/2),(-1-k, -1/2, k))$
Determinare in'equazione della conica di C che ha come asse la retta a: x-y-1=0.
Scrivi l'esercizio dall'inizio.
Nel piano euclideo reale in cui è fissato un riferimento cartesiano determinare l'equazione del fascio F di coniche tangenti alla retta r: x+y+1=0 in P=(1;0) e alla retta s:2x+y=0 in Q=(1;-2).
1.Determinare le eventuali coniche degeneri di tale fascio e classificarne le coniche generali. (questo punto l'ho risolto);
2. determinare un'equazione della conica di F che ha come asse la retta a: x-y-1=0.
3.stabilire se la conica C determinata al punto precedente è tangente ad un iperbole equilatera in cui è intersecata dalla retta x=0, e in caso di risposta affermativa, determinare un'equazione carteseana di tale iperbole.
Ecco questo è il testo completo. Però il punto su cui ho problemi è proprio il secondo!!!
1.Determinare le eventuali coniche degeneri di tale fascio e classificarne le coniche generali. (questo punto l'ho risolto);
2. determinare un'equazione della conica di F che ha come asse la retta a: x-y-1=0.
3.stabilire se la conica C determinata al punto precedente è tangente ad un iperbole equilatera in cui è intersecata dalla retta x=0, e in caso di risposta affermativa, determinare un'equazione carteseana di tale iperbole.
Ecco questo è il testo completo. Però il punto su cui ho problemi è proprio il secondo!!!
"glorietta":
Nel piano euclideo reale in cui è fissato un riferimento cartesiano determinare l'equazione del fascio F di coniche tangenti alla retta r: x+y+1=0 in P=(1;0) e alla retta s:2x+y=0 in Q=(1;-2).
...
2. determinare un'equazione della conica di F che ha come asse la retta a: x-y-1=0.
C'è un problema: il tuo punto $P=(1;0)$ non sta sulla retta $x+y+1=0$ !
ho sbagliato a scrivere la retta r: x+y-1=0. Scusami.
"glorietta":
ho sbagliato a scrivere la retta r: x+y-1=0. Scusami.
Immaginavo fosse quella la retta.
Il fascio ha equazione
$(x+y-1)(2x+y)+lambda(x-1)^2=0$
a questo punto, visto che vuoi trovare la conica del fascio avente
per asse la retta di equazione $r : x-y-1=0$, puoi per prima cosa
determinare l'equazione della simmetria assiale rispetto alla retta $r$ (che è, infatti,
asse di simmetria della conica) e poi calcolare l'immagine della conica immagine.
Dopo imponi che la conica trasformata coincida con la conica iniziale:
in questo modo trovi il valore del parametro.
"franced":
[quote="glorietta"]ho sbagliato a scrivere la retta r: x+y-1=0. Scusami.
Immaginavo fosse quella la retta.
Il fascio ha equazione
$(x+y-1)(2x+y)+lambda(x-1)^2=0$
a questo punto, visto che vuoi trovare la conica del fascio avente
per asse la retta di equazione $r : x-y-1=0$, puoi per prima cosa
determinare l'equazione della simmetria assiale rispetto alla retta $r$ (che è, infatti,
asse di simmetria della conica) e poi calcolare l'immagine della conica immagine.
Dopo imponi che la conica trasformata coincida con la conica iniziale:
in questo modo trovi il valore del parametro.[/quote]
Secondo metodo, migliore di quello appena scritto:
dal momento che $P=(1,0)$ sta sull'asse di simmetria, la retta tangente in $P$
deve essere necessariamente perpendicolare all'asse di simmetria;
poiché le due rette $x+y-1=0$ e $x-y-1=0$ sono ortogonali, possiamo procedere.
(Si osservi che quanto detto non è inutile!!)
A questo punto possiamo determinare la conica del fascio passante per $E$, dove
$E=(-1,0)$ è il punto simmetrico di $Q=(1,-2)$ rispetto alla retta $x-y-1=0$.
Questo è un procedimento nettamente migliore del precedente.
Facendo i calcoli si scopre che $lambda=-1$ e quindi la conica cercata
ha equazione
$x^2 + 3 x y + y^2 - y - 1 = 0$ .
Sinceramente dopo il calcolo della retta tangente in P non riesco piu a capire come devo procedere!!!
"glorietta":
Sinceramente dopo il calcolo della retta tangente in P non riesco piu a capire come devo procedere!!!
Allora, procediamo con calma:
1) Ti torna l'equazione del mio fascio?
2) Per quanto riguarda la retta tangente in $P$ ho fatto solo una semplice verifica:
ho controllato che fosse perpendicolare con l'asse di simmetria.
3) Ho calcolato il punto $E$, simmetrico di $Q$ rispetto all'asse di simmetria.
4) Ho cercato la conica del fascio passante per $E$.
Dimmi ora che cosa non capisci.
Per il fascio ci sono perchè è un fascio di coniche bitangenti ed ho fatto tutti i conti. Non mi torna come hai fatto a calcolare il punto simmetrico E?Poi per il resto ho capito. Ora provo ad andare avanti ed a confrontare il risultato con il tuo.Grazie mille.
"glorietta":
Per il fascio ci sono perchè è un fascio di coniche bitangenti ed ho fatto tutti i conti. Non mi torna come hai fatto a calcolare il punto simmetrico E?Poi per il resto ho capito. Ora provo ad andare avanti ed a confrontare il risultato con il tuo.Grazie mille.
Per trovare il punto $E$ ti serve la retta perpendicolare all'asse e passante per $Q$;
poi la intersechi con l'asse e trovi $M$.
A questo punto imponi che $M$ sia il punto medio del segmento avente per estremi $Q$ ed $E$.
Ok. Tra poco lorisolvo e poi ti faccio sapere in giornata se riesco. Grazie mille per gli aiuti!!
"glorietta":
Ok. Tra poco lorisolvo e poi ti faccio sapere in giornata se riesco. Grazie mille per gli aiuti!!
Prego.
Allora ho svolto i calcoli e torna tutto tranne quel -2xy della conica trovata. Riprovo a fare i calcoli perchè mi esce un -2xy ma robabilmente sarà un errore di calcolo.
ok mi torna avevo fatto un errore nella costruzione del fascio svolgendo i calcoli.
3.stabilire se la conica C determinata al punto precedente è tangente ad un iperbole equilatera in cui è intersecata dalla retta x=0, e in caso di risposta affermativa, determinare un'equazione carteseana di tale iperbole.
Allora per questo punto ho pensato di procedere in questo modo. Dunque ho messo a sistema la conica che abbiamo trovato nel punto precedente con x=0 e ho ricavanto due punti $P_1$, $P_2$.
Con questi due punti ho costruito le tangenti utilizzando la formula della polare.
Poi una voltra ottenute l'equazioni delle tangenti scrivo il fasciao di coniche a mio parere sarà un fascio di coniche bitangenti.
Costruisco la matrice di tale fascio e impongo che $a_{1,1}$ + $a_{2,2}$ =0 per verificare che sia un'iperbole equiltera.Può andare bene come procedimento?Anche se però escono risultati con le radici.
Allora per questo punto ho pensato di procedere in questo modo. Dunque ho messo a sistema la conica che abbiamo trovato nel punto precedente con x=0 e ho ricavanto due punti $P_1$, $P_2$.
Con questi due punti ho costruito le tangenti utilizzando la formula della polare.
Poi una voltra ottenute l'equazioni delle tangenti scrivo il fasciao di coniche a mio parere sarà un fascio di coniche bitangenti.
Costruisco la matrice di tale fascio e impongo che $a_{1,1}$ + $a_{2,2}$ =0 per verificare che sia un'iperbole equiltera.Può andare bene come procedimento?Anche se però escono risultati con le radici.
"glorietta":
3.stabilire se la conica C determinata al punto precedente è tangente ad un iperbole equilatera in cui è intersecata dalla retta x=0, e in caso di risposta affermativa, determinare un'equazione carteseana di tale iperbole.
Io scriverei semplicemente il fascio generato dalla conica che abbiamo trovato e dalla retta $x=0$:
$x^2 + 3 x y + y^2 - y - 1 + \lambda*x^2 = 0$
successivamente trovi il valore del parametro per cui ottieni un'iperbole equilatera.
Senza troppi sforzi si vede che $\lambda=-2$ .
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