Equazione del piano passante per un punto e che forma un angolo particolare con una retta
Salve,
Qualcuno può aiutarmi a capire la strategia per trovare l'equazione del piano passante per A (0, 1, 0) e che forma un angolo di 45° gradi con la retta di equazione: $r: { ( x - y + z = 0 ),( y - 2z = 3 ):} $ ?
Conosco anche un vettore parallelo alla retta $r$ che è $v = (-3,-2,1)$.
Ho avuto una idea, ma non funziona direi:
Applicare la regola: $ sin (hat(r, pi )) = {al + bm + cn} / {sqrt{a^2 + b^2 + c^2} cdot sqrt{l^2 + m^2 + n^2}} $ sapendo che $(a,b,c)$ è un vettore ortogonale al piano e $(l,m,n)$ è un vettore parallelo alla retta $r$.
In questo caso ho il vettore parallelo alla retta $r$ per cui potevo usarlo ed eguagliare il tutto con $sin (45°) $ che è $sqrt2 / 2$.
Però non sicuro che riuscirei a trovare il vettore $(a,b,c)$ in questo modo, e anche se fosse poi con questo non so come arrivare all'equazione del piano cercato.
Come potrei procedere?
Grazie
Qualcuno può aiutarmi a capire la strategia per trovare l'equazione del piano passante per A (0, 1, 0) e che forma un angolo di 45° gradi con la retta di equazione: $r: { ( x - y + z = 0 ),( y - 2z = 3 ):} $ ?
Conosco anche un vettore parallelo alla retta $r$ che è $v = (-3,-2,1)$.
Ho avuto una idea, ma non funziona direi:
Applicare la regola: $ sin (hat(r, pi )) = {al + bm + cn} / {sqrt{a^2 + b^2 + c^2} cdot sqrt{l^2 + m^2 + n^2}} $ sapendo che $(a,b,c)$ è un vettore ortogonale al piano e $(l,m,n)$ è un vettore parallelo alla retta $r$.
In questo caso ho il vettore parallelo alla retta $r$ per cui potevo usarlo ed eguagliare il tutto con $sin (45°) $ che è $sqrt2 / 2$.
Però non sicuro che riuscirei a trovare il vettore $(a,b,c)$ in questo modo, e anche se fosse poi con questo non so come arrivare all'equazione del piano cercato.
Come potrei procedere?
Grazie
Risposte
Io farei cosi!
L'angolo formato dal vettore della retta e dal piano come hai già detto tu dovrà essere 45gradi!
Quindi $ angolo = arccos(()/(|vr||vpi|) )= 45°$
imponiamo l'equazione di un generico piano $ax+by+cz-d=0$
il versore vp (binormale al piano) sarà $(a,b,c)$
quindi risolvendo
$()/(|vr||vpi|) = 2/(2)^(1/2)$
$(-3a-2b+c)/( ((-3)^2 +(-2)^2 +1^2)^(1/2) + (a^2 +b^2+c^2)^(1/2)) = (2)^(1/2)/2$
da questo otterremmo una relazione tra $a,b,c$
A questo punto imponendo il passaggio per $(0,1,0)$ troviamo l'equazione del piano cercato
ovvero facciamo una cosa del genere $a(0) + b(1) + c(0) -d=0$ ovvero $b=d$
Quest'ultima condizione la mettiamo in sistema con quelle ottenute dalla condizione dell'angolo
NOTA: e' giusto come ha fatto ce con l'arcsin, ma sta di fatto che a 45gradi seno e coseno coincidono
L'angolo formato dal vettore della retta e dal piano come hai già detto tu dovrà essere 45gradi!
Quindi $ angolo = arccos((
imponiamo l'equazione di un generico piano $ax+by+cz-d=0$
il versore vp (binormale al piano) sarà $(a,b,c)$
quindi risolvendo
$(
$(-3a-2b+c)/( ((-3)^2 +(-2)^2 +1^2)^(1/2) + (a^2 +b^2+c^2)^(1/2)) = (2)^(1/2)/2$
da questo otterremmo una relazione tra $a,b,c$
A questo punto imponendo il passaggio per $(0,1,0)$ troviamo l'equazione del piano cercato
ovvero facciamo una cosa del genere $a(0) + b(1) + c(0) -d=0$ ovvero $b=d$
Quest'ultima condizione la mettiamo in sistema con quelle ottenute dalla condizione dell'angolo
NOTA: e' giusto come ha fatto ce con l'arcsin, ma sta di fatto che a 45gradi seno e coseno coincidono
Ok grazie.
Solo che non capisco come procedere quando arrivo al sistema:
$ { ( b = d ),( {−3a−b−c} / { (14)^{1/2}+(a^2+b^2+c^2) } =2 / (2)^12 ):} $
Cioè non so se ho capito bene, ma da qui dovrei trovare $a, b, c$ così che potrò avere l'equazione del piano. Solo che appunto non so come ottenere $a, b, c$ visto che la seconda equazione diventa a 3 incognite $a, c, d$
Solo che non capisco come procedere quando arrivo al sistema:
$ { ( b = d ),( {−3a−b−c} / { (14)^{1/2}+(a^2+b^2+c^2) } =2 / (2)^12 ):} $
Cioè non so se ho capito bene, ma da qui dovrei trovare $a, b, c$ così che potrò avere l'equazione del piano. Solo che appunto non so come ottenere $a, b, c$ visto che la seconda equazione diventa a 3 incognite $a, c, d$
Prima di tutto ti invito a rivedere la seconda equazione del sistema che ho corretto! (scusa, avevo sbagliato a scrivere)
Comunque riguardo alla seconda equazione la risolverei rispetto a uno dei tre parametri portando il secondo membro al primo e facendo denominatore comune ...ma non so se e' corretto
Hai il risultato sotto mano?
Comunque riguardo alla seconda equazione la risolverei rispetto a uno dei tre parametri portando il secondo membro al primo e facendo denominatore comune ...ma non so se e' corretto
Hai il risultato sotto mano?
Figurati grazie.
No purtroppo non ho il risultato, comunque, sempre in quella equazione che hai modificato, non dovrebbe essere $= sqrt 2 / 2$?
Ma in ogni caso per risolverla, avendo 3 incognite, non mi serve almeno un'altra condizione da imporre?
No purtroppo non ho il risultato, comunque, sempre in quella equazione che hai modificato, non dovrebbe essere $= sqrt 2 / 2$?
Ma in ogni caso per risolverla, avendo 3 incognite, non mi serve almeno un'altra condizione da imporre?
Si giusto!
Io farei in un modo che ti ribadisco non so se e' giusto...
Risolverei l'equazione rispetto a b(per esempio)... in modo da riportare il valore in funzione di a,c
Credo che esistano per questo piu' valori di a,b,c e d che soddisfano le due condizioni e i valori non devono per forza essere unici...
Meglio sentire il parere anche di qualcun altro però!
Io farei in un modo che ti ribadisco non so se e' giusto...
Risolverei l'equazione rispetto a b(per esempio)... in modo da riportare il valore in funzione di a,c
Credo che esistano per questo piu' valori di a,b,c e d che soddisfano le due condizioni e i valori non devono per forza essere unici...
Meglio sentire il parere anche di qualcun altro però!
Ok grazie, spero che qualcuno mi aiuti con il problema.
Nessun altro può aiutarmi?
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