Equazione del piano che contenga due rette.
Salve a tutti, ho difficoltà con il seguente esercizio: ho due equazioni parametriche di due rette. La prima è $\{(x=-1+t),(y=3+t),(z=-t):}$ la seconda $\{(x=-s),(y=-s),(z=2+s):}$. Si osserva subito che le due rette sono parallele, e potrei definire come $\vec a$=$((i,j,-k))$ il vetttore direttore di entrambe le rette. Ma non riesco a trovare l'equazione parametrica (e vettoriale) del piano... Grazie a tutti. Avrei bisogno di altri due vettori direttori passanti per l'origine per trovare il piano, o sbaglio??
PS: non abbiamo fatto le equazioni cartesiane.
PS: non abbiamo fatto le equazioni cartesiane.
Risposte
Io prenderei un punto appartenente ad una delle due rette, per esempio $P(0,0,2)$. Una base della giacitura è costituita dalla direzione della retta, diciamo \(\overrightarrow{PQ}(1,1,-1)\), insieme ad un vettore \(\overrightarrow{PR}\) dove $R$ è un punto arbitrario* dell'altra retta, per esempio $(-1,3,0)$ e quindi \(\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{PR}(-1,3,-2)\).
Date le coordinate di un punto di un piano bisogna imporre che la differenza tra le coordinate di ogni punto e quelle del punto dato sia combinazione lineare delle coordinate dei vettori della base, nel nostro caso
\(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\0\\2 \end{pmatrix}=s\begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\3\\2 \end{pmatrix} \)
da ciò si ricava anche l'equazione cartesiana imponendo che si annulli il determinante che ha in una riga le differenze di coordinate rispetto al punto dato e nelle altre le coordinate dei vettori, perché le prime devono essere combinazione delle altre
\(\begin{vmatrix} X&Y&X-2 \\1&1&-1\\-1&3&2\end{vmatrix}=0 \iff 5X-Y+4Z-8=0\).
Spero di essere corretto se ho detto scemenze...
Ciao!
*che non appartenga anche alla retta di direzione \(\overrightarrow{PQ}\), se fossero incidenti invece che parallele e disgiunte come in questo caso, in modo che \(\overrightarrow{PR}\) e \(\overrightarrow{PQ}\) siano linearmente indipendenti e quindi una base.
Date le coordinate di un punto di un piano bisogna imporre che la differenza tra le coordinate di ogni punto e quelle del punto dato sia combinazione lineare delle coordinate dei vettori della base, nel nostro caso
\(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\0\\2 \end{pmatrix}=s\begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\3\\2 \end{pmatrix} \)
da ciò si ricava anche l'equazione cartesiana imponendo che si annulli il determinante che ha in una riga le differenze di coordinate rispetto al punto dato e nelle altre le coordinate dei vettori, perché le prime devono essere combinazione delle altre
\(\begin{vmatrix} X&Y&X-2 \\1&1&-1\\-1&3&2\end{vmatrix}=0 \iff 5X-Y+4Z-8=0\).
Spero di essere corretto se ho detto scemenze...
Ciao!
*che non appartenga anche alla retta di direzione \(\overrightarrow{PQ}\), se fossero incidenti invece che parallele e disgiunte come in questo caso, in modo che \(\overrightarrow{PR}\) e \(\overrightarrow{PQ}\) siano linearmente indipendenti e quindi una base.
Grazie della risposta; non ho capito perché le coordinate del vettore PR sono -1,3,-2 e come hai impostato l'equazione parametrica. PS: non abbiamo fatto ancora matrici e determinanti 
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Ho capito! Grazie dell'aiuto
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