Equazione del piano
Scrivi un'equazione del piano \( \pi \subset \mathbb{R^3} \) ortogonale all'asse y e passante per il punto $P(3,2,1)$.
Come si trova l'equazione del piano ortogonale all'asse y?non mi è mai capitato.
Una volta ottenuta l'equazione del piano so che dovrò sostituire le coordinate del punto $P(3,2,1)$ ovvero $P(x,y,z)$ nell'equazione del piano e troverò la $d$ (mi riferisco alla $d$ dell'equazione $ax+by+cz=d$)
Come si trova l'equazione del piano ortogonale all'asse y?non mi è mai capitato.
Una volta ottenuta l'equazione del piano so che dovrò sostituire le coordinate del punto $P(3,2,1)$ ovvero $P(x,y,z)$ nell'equazione del piano e troverò la $d$ (mi riferisco alla $d$ dell'equazione $ax+by+cz=d$)
Risposte
Prima una domanda: sai cosa si intenda per ortogonale in geometria(almeno quella con i vettori)?
si, che il loro prodotto scalare sia uguale a zero. giusto?
Il piano richiesto è parallelo al piano xz che ha come equazione $y=0$. Pertanto il piano
da trovare ha equazione $y+d=0$. Imponendo il passaggio per il punto P si ha la condizione :
$2+d=0 $ da cui $d=-2$.
Si conclude che la risposta è:
$y-2=0$
da trovare ha equazione $y+d=0$. Imponendo il passaggio per il punto P si ha la condizione :
$2+d=0 $ da cui $d=-2$.
Si conclude che la risposta è:
$y-2=0$
grazie,
ho delle domande da farti:
cosa intendi con "Il piano richiesto è parallelo al piano xz" ?
infine non dovrebbe essere $y−2=0$ ?
mi potresti spiegare meglio come arrivi a queste equazioni?
ho delle domande da farti:
cosa intendi con "Il piano richiesto è parallelo al piano xz" ?
infine non dovrebbe essere $y−2=0$ ?
mi potresti spiegare meglio come arrivi a queste equazioni?
"andrea14":
si, che il loro prodotto scalare sia uguale a zero. giusto?
in poche parole si.
1) il piano è ortogonale alla retta $Y:= O+<(0,1,0)>$
pertanto deve essere $(x,y,z)*(0,1,0)=0 <=> y=0$ ovvero l'insieme dei vettori ortogonali alla retta è del tipo $(x,0,z)$ da cui si evince che il piano in questione debba avere giacitura $W=<(1,0,0),(0,0,1)>$
2) il piano passa per $P=(3,2,1)$
allora il piano sarà $pi:=P+W={X inRR^3: vec(PX) inW}$ no?
cioè $vec(OX)=vec(OP)+a(1,0,0)+b(0,0,1) => (x,y,z)=(3+a,2,1+b)$
da cui subito si ottiene il piano di equazione $y-2=0$
grazie anto_zoolander,nonostante me lo hai gia spiegato per bene faccio fatica a capirlo.
Ho guardato sul libro che ho ed internet ma non riesco a capire bene i tuoi passaggi.
Hai un sito da consigliarmi per capire tutto questo?
Ho guardato sul libro che ho ed internet ma non riesco a capire bene i tuoi passaggi.
Hai un sito da consigliarmi per capire tutto questo?
Tranquillo lo capisco, pensavo avessi più dimestichezza con i vettori.
Fortunatamente c'è anche un altro metodo, te lo espongo:
considera un generico punto $X=(x,y,z) inRR^2$ e consideriamo il generico vettore
questo chiaramente rappresenta tutti i vettori che al variare del punto $X$ uniscono $P,X$
Ora posto $vec(e_2)=(0,1,0)$ il piano richiesto è l'insieme $pi={X inRR^3: vec(PX)*vec(e_2)=0}$
ovvero l'insieme dei punti $X$ tali che congiunti al punto $P$, $vec(PX)$ sia ortogonale a $vec(e_2)$ e si ottiene
Fortunatamente c'è anche un altro metodo, te lo espongo:
considera un generico punto $X=(x,y,z) inRR^2$ e consideriamo il generico vettore
$vec(PX)=(x-3,y-2,z-1)$
questo chiaramente rappresenta tutti i vettori che al variare del punto $X$ uniscono $P,X$
Ora posto $vec(e_2)=(0,1,0)$ il piano richiesto è l'insieme $pi={X inRR^3: vec(PX)*vec(e_2)=0}$
ovvero l'insieme dei punti $X$ tali che congiunti al punto $P$, $vec(PX)$ sia ortogonale a $vec(e_2)$ e si ottiene
$(x-3,y-2,z-1)*(0,1,0)=0 <=> y-2=0$
grazie!
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