Equazione del cilindro

[Ale0010]

Ciao! Io so che questa equazione: $x^2-2*x*y=1$ è un cilindro. Ma come faccio a dimostrarlo?
Faccio la matrice per il cambio di coordinate trovo gli autovalori e poi... da qui non riesco ad andare più avanti...

[Mrhaha]

Non sapevo dell'esistenza di equazioni di un cilindro! perciò mi piacerebbe seguire questo post!

[Ale0010]

La matrice di f è A= $( ( 1 , -1 , 0 , 0 ),( -1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -1 ) )$ da qui estrapolo la matrice della forma quadrica di f che è B= $( ( 1 , -1 , 0 ),( -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0) )$ Ora trovo gli autovalori di B che sono: $0$, $ (1/2 + sqrt(5)/2)$ e $(1/2 - sqrt(5)/2)$.
Adesso come associo gli autovalori all'equazioe canonica $ax^2 + by^2 + cz^2 = d$
Penso che c=0. Ma non ne sono sicuro...

Inoltre so già che è o un cilindro o un cono perchè $det(A)=3$.

[Mrhaha]

Come hai costruito A?

[Ale0010]

Ho messo nella seguente forma l'eq.:
$1x^2+2*(-1)xy-1=0$

$(a11)x^2 + 2(a12)xy + 2(a13)xz + (a22)y^2 + 2(a23)yz + (a33)z^2 + 2(a14)x + 2(a24)y + 2(a34)z + (a44)=0$

A è così formata:

$( ( a11 , a12 , a13 , a14 ),( a12 , a22 , a23 , a24 ),( a13 , a23 , a33 , a34 ),( a14 , a24 , a34 , a44 ) )$

...grazie per l'aiuto...

[Mrhaha]

Veramente grazie a te,perchè non sapevo l'esistenza di queste cose! Aspettiamo la risposta di qualcuno!

[Ale0010]

Ho trovato!!
Se c'è un autovalore nullo abbiamo un cilindro.
Se gli altri due autovalori sono concordi abbiamo un cilindro ellittico se invece sono discordi abbiamo un cilindro iperbolico se invece l'autovalore nullo ha molteplicità 2 è un cilindro parabolico.
Ciao