Equazione cono dato vertice e generatrice
vi pongo questo quesito del quale gli ultimi 2 punti non mi riescono.. cioè non mi riesce il penultimo e l'ultimo di conseguenza..
data la curva di equazioni: $\{(x = 1 - 2t), (y = 1 - 3$t^2$):}$ $\{(z = 1 - 3$t^2$):}$
a)dire se la curva è piana e se si l'equazione del piano che la continene
b) determinare l'equazone cartesiana per la curva data
c) scrivere l'equazione del cono con vertice V (0,1,0) e che ha per generatrice la curva data.
d) classificare l'intersezione del cono con il piano z=0
se avete spiegarmelo tutto (cosi vedo se l'ho fatto bene) vi ringrazio altrimenti i punto critico è il C.
grazie mille in anticipo!
data la curva di equazioni: $\{(x = 1 - 2t), (y = 1 - 3$t^2$):}$ $\{(z = 1 - 3$t^2$):}$
a)dire se la curva è piana e se si l'equazione del piano che la continene
b) determinare l'equazone cartesiana per la curva data
c) scrivere l'equazione del cono con vertice V (0,1,0) e che ha per generatrice la curva data.
d) classificare l'intersezione del cono con il piano z=0
se avete spiegarmelo tutto (cosi vedo se l'ho fatto bene) vi ringrazio altrimenti i punto critico è il C.
grazie mille in anticipo!
Risposte
Da quello che hai scritto mi pare di capire che le equazioni della curva data C ( che ,per quel che riguarda il punto (c),si chiama "direttrice " e non "generatrice" ...) sono :
\(\displaystyle A) \begin{cases}x=1-2t\\y=1-3t^2\\z=1-3t^2 \end{cases}\)
Se è così ,procedo.
Punto a)
Non necessitano calcoli. E' sufficiente osservare che le coordinate y e z del generico punto di C sono uguali e pertanto la curva C giace nel piano \(\displaystyle y=z \)
Punto b)
Le equazioni cartesiane di C si ottengo eliminando il parametro t dalle (A). Per fare questo ricaviamo la t dalla prima equazione delle (A) :
\(\displaystyle t=\frac{1}{2}(1-x) \)
Sostituendo nelle altre due equazioni otteniamo che :
\(\displaystyle \begin{cases}y= 1-\frac{3}{4}(1-x)^2 \\z=1-\frac{3}{4}(1-x)^2\end{cases} \)
che sono le richieste equazioni cartesiane di C .
Punto c)
Sia \(\displaystyle P(1-2t,1-3t^2,1-3t^2) \) il generico punto di C e \(\displaystyle V( 0,1,0) \) il vertice del cono richiesto. Allora la retta VP è la generica generatrice del cono e le sue equazioni sono :
(B) \(\displaystyle \begin{cases}x=u-2ut\\y=1-3t^2u\\z=u-3t^2u\end{cases} \)
( dove u e t sono due parametri arbitrari).
E queste sono le equazioni parametriche del cono. Per avere l'equazione cartesiana del suddetto cono occorre eliminare u e t dalle (B) e questo richiede qualche trucco ,se non ci si vuole incasinare in un mare di calcoli ( come è successo al sottoscritto prima di accorgersi di essere ..fuori strada !
)
Allora, sottraendo dalla seconda equazione delle (B) la terza, abbiamo :
\(\displaystyle y-z=1-u \) da cui ricavo u :
1) \(\displaystyle u=1-y+z \)
Dalla prima equazione delle (B) mi ricavo la t :
\(\displaystyle t=\frac{u-x}{2u} \)
e sostituendo il valore di u dato dalla (1) ho :
2) \(\displaystyle t=\frac{1-y+z-x}{2(1-y+z)} \)
Adesso basta sostituire la (1) e la (2) per esempio nella seconda delle (B) per avere l'equazione cartesiana del cono. Equazione che, salvo errori miei, è :
C) \(\displaystyle 3(1-y+z-x)^2+4(y-1)(1-y+z)=0 \)
Punto d)
La richiesta intersezione è la conica di equazioni :
\(\displaystyle \begin{cases} z=0\\3(1-x-y)^2-4(y-1)^2=0 \end{cases} \)
che si spezza in due rette dato che il piano \(\displaystyle z=0 \) passa per vertice del cono. Lascio a te il compito di trovare le equazioni di tali rette...
\(\displaystyle A) \begin{cases}x=1-2t\\y=1-3t^2\\z=1-3t^2 \end{cases}\)
Se è così ,procedo.
Punto a)
Non necessitano calcoli. E' sufficiente osservare che le coordinate y e z del generico punto di C sono uguali e pertanto la curva C giace nel piano \(\displaystyle y=z \)
Punto b)
Le equazioni cartesiane di C si ottengo eliminando il parametro t dalle (A). Per fare questo ricaviamo la t dalla prima equazione delle (A) :
\(\displaystyle t=\frac{1}{2}(1-x) \)
Sostituendo nelle altre due equazioni otteniamo che :
\(\displaystyle \begin{cases}y= 1-\frac{3}{4}(1-x)^2 \\z=1-\frac{3}{4}(1-x)^2\end{cases} \)
che sono le richieste equazioni cartesiane di C .
Punto c)
Sia \(\displaystyle P(1-2t,1-3t^2,1-3t^2) \) il generico punto di C e \(\displaystyle V( 0,1,0) \) il vertice del cono richiesto. Allora la retta VP è la generica generatrice del cono e le sue equazioni sono :
(B) \(\displaystyle \begin{cases}x=u-2ut\\y=1-3t^2u\\z=u-3t^2u\end{cases} \)
( dove u e t sono due parametri arbitrari).
E queste sono le equazioni parametriche del cono. Per avere l'equazione cartesiana del suddetto cono occorre eliminare u e t dalle (B) e questo richiede qualche trucco ,se non ci si vuole incasinare in un mare di calcoli ( come è successo al sottoscritto prima di accorgersi di essere ..fuori strada !
)Allora, sottraendo dalla seconda equazione delle (B) la terza, abbiamo :
\(\displaystyle y-z=1-u \) da cui ricavo u :
1) \(\displaystyle u=1-y+z \)
Dalla prima equazione delle (B) mi ricavo la t :
\(\displaystyle t=\frac{u-x}{2u} \)
e sostituendo il valore di u dato dalla (1) ho :
2) \(\displaystyle t=\frac{1-y+z-x}{2(1-y+z)} \)
Adesso basta sostituire la (1) e la (2) per esempio nella seconda delle (B) per avere l'equazione cartesiana del cono. Equazione che, salvo errori miei, è :
C) \(\displaystyle 3(1-y+z-x)^2+4(y-1)(1-y+z)=0 \)
Punto d)
La richiesta intersezione è la conica di equazioni :
\(\displaystyle \begin{cases} z=0\\3(1-x-y)^2-4(y-1)^2=0 \end{cases} \)
che si spezza in due rette dato che il piano \(\displaystyle z=0 \) passa per vertice del cono. Lascio a te il compito di trovare le equazioni di tali rette...
@ferretti: per la prossima volta: secondo il regolamento è necessario in ogni caso postare i propri tentativi di risoluzione.
@vittorino70: lo so che la tentazione di scrivere interamente l'esercizio è forte, ma la prossima volta prova a trattenerti.
@vittorino70: lo so che la tentazione di scrivere interamente l'esercizio è forte, ma la prossima volta prova a trattenerti.
@ferretti
E' passato un giorno dalla tua richiesta di aiuto ma sul forum non c'è traccia di te. Due ipotesi sono possibili:
A) hai avuto altri impegni
B) il problema che hai postato alla fine non t'interessa granché...
In ogni caso ti inviterei a riflettere sulla mia soluzione..... Hai visto mai che leggendola non ne ricavi qualcosa, anche se non è farina del tuo sacco
P.S. Da quello che hai scritto dedurrei ( il condizionale è doveroso ...) che ti interessava fortemente il punto (c) ,facendo con ciò intendere che qualche altro punto l'avevi risolto. Per favore, posta le tue riflessioni. Ci farai tutti contenti !
E' passato un giorno dalla tua richiesta di aiuto ma sul forum non c'è traccia di te. Due ipotesi sono possibili:
A) hai avuto altri impegni
B) il problema che hai postato alla fine non t'interessa granché...
In ogni caso ti inviterei a riflettere sulla mia soluzione..... Hai visto mai che leggendola non ne ricavi qualcosa, anche se non è farina del tuo sacco
P.S. Da quello che hai scritto dedurrei ( il condizionale è doveroso ...) che ti interessava fortemente il punto (c) ,facendo con ciò intendere che qualche altro punto l'avevi risolto. Per favore, posta le tue riflessioni. Ci farai tutti contenti !
mi scuso con entrambi, è semplicemente che adopero il computer di rado perche devo preparare 2 esami quindi ho tante cose da fare. un appunto a vittorino il cono che hai scritto mi pare che sia un paraboloide iperbolico, il mio cono sinceramente non l'ho esplicitato perchè ci perderei un sacco di tempo che non ho! ti ringrazio per aver svolto l'esercizio completamente! comunque io ti ho scritto generatrice perchè il testo recitava cosi..
grazie mille!
grazie mille!
@ferretti
Confermo che si tratta di un cono. Ho fatto i calcoli e trovo che il det della matrice associata alla quadrica è nullo mentre il det della matrice associata alla forma quadratica non è nullo.
Confermo che si tratta di un cono. Ho fatto i calcoli e trovo che il det della matrice associata alla quadrica è nullo mentre il det della matrice associata alla forma quadratica non è nullo.
scusa avevo scritto male l'equazione! è un cono! per la precisione l'ho provato a disegnare con windows mathematics e mi viene fuori che è un cono ellittico.
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