Equazione con numeri complessi
Salve a tutti, devo risolvere la seguente equazione $ w^3=(sqrt3i+1)*e^\frac(ipi)(3)*w $
Ho ridotto tutto a forma esponenziale, moltiplicato i moduli e sommato gli argomenti. Riportando a forma algebrica ottengo $ w^3=-1+sqrt3i*w $. Da qui in poi vado un po' in crisi, quello che mi blocca è che c'è w al secondo membro, altrimenti procedevo facendo radice cubica del modulo e dividendo per 3 gli argomenti, o almeno credo sia giusto così, confermate? In che modo devo risolvere l'equazione? Potreste spiegarmi i passaggi?
Grazie
Ho ridotto tutto a forma esponenziale, moltiplicato i moduli e sommato gli argomenti. Riportando a forma algebrica ottengo $ w^3=-1+sqrt3i*w $. Da qui in poi vado un po' in crisi, quello che mi blocca è che c'è w al secondo membro, altrimenti procedevo facendo radice cubica del modulo e dividendo per 3 gli argomenti, o almeno credo sia giusto così, confermate? In che modo devo risolvere l'equazione? Potreste spiegarmi i passaggi?
Grazie
Risposte
Se non sbaglio, al secondo sembro non vedo somme quindi puoi dividere per $w$ (ovviamente dopo aver valutato cosa avviene nel caso $w=0$).
A quel punto estrai la radice quadrata.
A quel punto estrai la radice quadrata.
Quindi posso dividere anche w? Così ottengo $ w/3 $ con $ w\ne0 $
Ma la radice non è cubica? Perché diventa quadrata?
Ma la radice non è cubica? Perché diventa quadrata?
Non riesco a capire perché devo dividere per w, perdonatemi, io questo tipo di equazione l'ho sempre risolto con il metodo che vi ho indicato nel primo messaggio, ma dove non c'era w al secondo membro.
Se w=0 e devo dividere per w allora l'equazione risulta impossibile.
Se w=0 e devo dividere per w allora l'equazione risulta impossibile.
Prova a riflettere su quello che ti è stato detto, cerca di essere meno rigido 
Se $w=0$ cosa succede? Non è difficile ...
Appurato cosa accade per $w=0$, vediamo cosa succede quando $w!=0$
In tal caso possiamo dividere tutto per $w$ e accade che a destra l'incognita sparisce e rimane solo un numero complesso e a sinistra rimane $w^2$ ovvero quel che rimane da fare è il calcolo della radice quadrata di un numero complesso.
Cordialmente, Alex
Se $w=0$ cosa succede? Non è difficile ...
Appurato cosa accade per $w=0$, vediamo cosa succede quando $w!=0$
In tal caso possiamo dividere tutto per $w$ e accade che a destra l'incognita sparisce e rimane solo un numero complesso e a sinistra rimane $w^2$ ovvero quel che rimane da fare è il calcolo della radice quadrata di un numero complesso.
Cordialmente, Alex
Allora, intanto grazie mille per le risposte, ho svolto i calcoli quindi il numero complesso dovrebbe essere uguale a $ w=-\fracsqrt2(2)+i\fracsqrt6(2) $ . Spero sia giusto, mentre ragionando su w=0 allora l'equazione dovrebbe avere 0=0, quindi 0 come soluzione.
Non ho fatto i conti ma sono dubbioso su quel risultato, però di sicuro la radice quadrata di un numero complesso ha due soluzioni non una ...
Si, non avevo calcolato secondo $ \theta $ con k= n-1. Comunque l'altra soluzione mi dà $ w=-\fracsqrt2(2)-\fracsqrt6(2)i $ , che poi è il coniugato dell'altra soluzione.
E sicuramente almeno una delle due è errata ...
Non riesco a capire cosa c'è di sbagliato, ho eseguito tutti i passaggi correttamente e fatto i calcoli... Quanto dovrebbe dare?
La verifica è facile: se $y=sqrt(x)$ allora $y^2=x$, quindi ti basta elevare al quadrato le due soluzioni che hai trovato e verificare se ti danno lo stesso risultato 
No, non corrispondono...
E quindi non sono entrambe soluzioni
D'altronde le due radici quadrate di un numero complesso non possono esser coniugate, in quanto le due radici si trovano su quadranti opposti mentre i due coniugati stanno su quadranti adiacenti.
Devi solo rifare i conti per bene …
D'altronde le due radici quadrate di un numero complesso non possono esser coniugate, in quanto le due radici si trovano su quadranti opposti mentre i due coniugati stanno su quadranti adiacenti.
Devi solo rifare i conti per bene …
Mi sono accorto di aver sbagliato a calcolare il modulo che non è $ sqrt2 $ ma 2. Ora i risultati sono w= $ 1+sqrt3i $ e w= $ -1-sqrt3i $. Però se li elevo al quadrato non danno comunque, sto controllando ma a me sembra tutto giusto, mi insospettisce quel $ w^2=-1+sqrt3i $ però l'ho calcolato correttamente.
$w^2=-1+sqrt(3)i$ è corretto.
Posto $z=w^2$, qual è il modulo di $z$? Qual è l'argomento di $z$? Forse è qui che inciampi …
Posto $z=w^2$, qual è il modulo di $z$? Qual è l'argomento di $z$? Forse è qui che inciampi …
Dovrebbe essere modulo=2 ed argomento= $ \frac2(3)pi $ ....
Giusto.
E adesso come calcoli le radici?
E adesso come calcoli le radici?
Radice quadra del modulo, dove mi sono appena reso conto di aver sbagliato a correggere prima. Per essere più chiaro e far vedere nel dettaglio: $ w0=sqrt2(cos\frac\frac(2pi)(3)(2)+isin\fracfrac(2pi)(3)(2))=\-fracsqrt2(2)+\fracsqrt6(2)i $ con k=0
$ w1=sqrt2(cos\fracfrac(2pi)(3)(2)+\frac(2pi)(2)+isin\fracfrac(2pi)(3)(2)+\frac(2pi)(2))=-\fracsqrt2(2)-\fracsqrt6(2)i $ con k=1
Questo è il massimo del mio repertorio.
$ w1=sqrt2(cos\fracfrac(2pi)(3)(2)+\frac(2pi)(2)+isin\fracfrac(2pi)(3)(2)+\frac(2pi)(2))=-\fracsqrt2(2)-\fracsqrt6(2)i $ con k=1
Questo è il massimo del mio repertorio.
Quanto fa $cos(pi/3)$?
La seconda ti viene giusta ma per caso perché i segni dovrebbero essere entrambi opposti alla prima ...
La seconda ti viene giusta ma per caso perché i segni dovrebbero essere entrambi opposti alla prima ...
Inoltre è $cos((2/3pi)/2+(2pi)/2)$, non come hai scritto tu ... idem per il seno ...
$ cos(\fracpi3)=\frac1(2) $
Si quindi dovrebbe essere $ w0=\fracsqrt2(2)+\fracsqrt6(2)i $ giusto?!
Mi sono reso conto che avevo scritto male, era la fretta
. Dunque l'esercizio può considerarsi concluso?
Si quindi dovrebbe essere $ w0=\fracsqrt2(2)+\fracsqrt6(2)i $ giusto?!
Mi sono reso conto che avevo scritto male, era la fretta
. Dunque l'esercizio può considerarsi concluso?
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