Equazione cartesiana di un'ellisse
Salve a tutti, Sto riscontrando delle difficoltà dell'applicare la definizione di ellisse per trovare la sua equazione cartesiana.
"Determina l'equazione cartesiana dell'ellisse di fuochi $F1(2,0) F2(-2,0)$ avente semiasse maggiore uguale a 3"
Ho risolto in parte tutti i calcoli, e sono arrivata all'equazione cartesiana $8x^2+18x+9y^2-45=0$
I calcoli che ho eseguito sono corretti? Se volessi trovare l'equazione dell'ellisse nella forma $(x-x_o)^2/(a^2)+(y-y_o)^2/(b^2)$
come faccio?
"Determina l'equazione cartesiana dell'ellisse di fuochi $F1(2,0) F2(-2,0)$ avente semiasse maggiore uguale a 3"
Ho risolto in parte tutti i calcoli, e sono arrivata all'equazione cartesiana $8x^2+18x+9y^2-45=0$
I calcoli che ho eseguito sono corretti? Se volessi trovare l'equazione dell'ellisse nella forma $(x-x_o)^2/(a^2)+(y-y_o)^2/(b^2)$
come faccio?
Risposte
I fuochi sono sull'asse delle ascisse e sono simmetrici rispetto all'asse delle ordinate, quindi il centro dell'ellisse è nell'origine degli assi, la sua equazione deve essere del tipo
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ senza termini di primo grado.
$c^2=a^2-b^2$ dove $+-c$ sono le ascisse dei fuochi
$a=3$ perché è il semiasse maggiore
$b^2=a^2-c^2=9-4=5$
l'equazione dell'ellisse è
$x^2/9+y^2/5=1$
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ senza termini di primo grado.
$c^2=a^2-b^2$ dove $+-c$ sono le ascisse dei fuochi
$a=3$ perché è il semiasse maggiore
$b^2=a^2-c^2=9-4=5$
l'equazione dell'ellisse è
$x^2/9+y^2/5=1$
Si sapevo che si poteva risolvere anche così, però volendo arrivare all'equazione dell'ellisse tramite la sua definizione ovvero $ \bar (PF_1) + \bar (PF_2)=2a$ mi vine fuori questa equazione $ 8x^2+18x+9y^2−45=0 $ che dovrebbe rappresentare l'equazione canonica. Se volessi riportarla nella forma "standard"(chiamiamola cosi) non riesco ad arrivarci, perchè avrò sbagliato molto probabilmente i calcoli, non so
Hai sbagliato i calcoli NON può venire come hai scritto tu, quell'ellisse NON ha centro in O, ha centro in $(9/8, 0)$
Va bene, ora li riprovo a fare per l'ennesima volta. Grazie
Se non ti vengono, te li posto io.
Se non è un problema per te, mi faresti un favore enorme 
$sqrt((x+2)^2+y^2)+sqrt((x-2)^2+y^2)=6$
$sqrt(x^2+4x+4+y^2)+sqrt(x^2-4x+4+y^2)=6$
$sqrt((x^2+4x+4+y^2))=6-sqrt(x^2-4x+4+y^2)$ elevando alla seconda
$x^2+4x+4+y^2= 36-12sqrt(x^2-4x+4+y^2)+x^2-4x+4+y^2$
$12sqrt(x^2-4x+4+y^2)= 36-8x$
$sqrt(x^2-4x+4+y^2)= 3-2/3x$ elevo nuovamente alla seconda
$x^2-4x+4+y^2= 9 -4x+4/9x^2$
$5/9x^2+y^2=5$
$x^2/9+y^2/5=1$
$sqrt(x^2+4x+4+y^2)+sqrt(x^2-4x+4+y^2)=6$
$sqrt((x^2+4x+4+y^2))=6-sqrt(x^2-4x+4+y^2)$ elevando alla seconda
$x^2+4x+4+y^2= 36-12sqrt(x^2-4x+4+y^2)+x^2-4x+4+y^2$
$12sqrt(x^2-4x+4+y^2)= 36-8x$
$sqrt(x^2-4x+4+y^2)= 3-2/3x$ elevo nuovamente alla seconda
$x^2-4x+4+y^2= 9 -4x+4/9x^2$
$5/9x^2+y^2=5$
$x^2/9+y^2/5=1$
Grazie mille!!
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