Equazione cartesiana dell'immagine di una funzione lineare
Salve a tutti,
stavo rivedendo degli esercizi d'esame e non riesco mai a capire come ottengono l'equazione cartesiana dell'immagine di una funzione.
Nello specifico, l'esercizio è
In $RR^3$ sono dati i vettori $v_1= (1,0,0), v_2=(1,0,-2), v_3=(-1-1-0)$. Verificare che le assegnazioni
$f(v_1)=(0,0,h))$
$f(v_2)=(-2h-4, -2, h)$
$f(v_3)=(-h-4,-2-2)$
definiscono una funzione lineare $f: RR^3 rarr RR^3$, con $h in RR$.
Determinare nucleo e immagine di f al variare di h indicando, nei casi significativi, una base ed equazioni cartesiane.
1. Vedo che i tre vettori $v_1, v_2, v_3$ sono l.i. perchè il determinante della matrice è diverso da zero.
2. Trovo la matrice associata alla base canonica che è
$[[0, -h-4, h+2 ],[0, -2,1],[h, 2+h,0]]$ e il suo determinante è $h^2$
3. Distinguo il caso di $h != 0$, dove la matrice associata ha rango massimo ed f è un isomorfismo, dal caso di $h=0$ nel quale il rango scende a 2 e ottengo che l'Imf è generata dai vettori $(-4,-2,2)$ e $(2,1,0)$.
A questo punto dice che l'eq cartesiana di Imf è $x=2y$ ma non capisco da dove venga fuori.
Sostituendo il valore $h=0$ in $f(v_2)$ ottengo $-4x-2y=0$ e quindi $x= 1/2 y$ oppure $y=2x$.
Grazie per il vostro aiuto.
stavo rivedendo degli esercizi d'esame e non riesco mai a capire come ottengono l'equazione cartesiana dell'immagine di una funzione.
Nello specifico, l'esercizio è
In $RR^3$ sono dati i vettori $v_1= (1,0,0), v_2=(1,0,-2), v_3=(-1-1-0)$. Verificare che le assegnazioni
$f(v_1)=(0,0,h))$
$f(v_2)=(-2h-4, -2, h)$
$f(v_3)=(-h-4,-2-2)$
definiscono una funzione lineare $f: RR^3 rarr RR^3$, con $h in RR$.
Determinare nucleo e immagine di f al variare di h indicando, nei casi significativi, una base ed equazioni cartesiane.
1. Vedo che i tre vettori $v_1, v_2, v_3$ sono l.i. perchè il determinante della matrice è diverso da zero.
2. Trovo la matrice associata alla base canonica che è
$[[0, -h-4, h+2 ],[0, -2,1],[h, 2+h,0]]$ e il suo determinante è $h^2$
3. Distinguo il caso di $h != 0$, dove la matrice associata ha rango massimo ed f è un isomorfismo, dal caso di $h=0$ nel quale il rango scende a 2 e ottengo che l'Imf è generata dai vettori $(-4,-2,2)$ e $(2,1,0)$.
A questo punto dice che l'eq cartesiana di Imf è $x=2y$ ma non capisco da dove venga fuori.
Sostituendo il valore $h=0$ in $f(v_2)$ ottengo $-4x-2y=0$ e quindi $x= 1/2 y$ oppure $y=2x$.
Grazie per il vostro aiuto.
Risposte
"Samy21":
il rango scende a 2 e ottengo che l'Imf è generata dai vettori $(-4,-2,2)$ e $(2,1,0)$.
$(-4,-2,2)$ e $(2,1,0)$ ed un generico vettore $(x,y,z)$ dello spazio d'arrivo devono essere linearmente dipendenti. Sai usare le proprietà dei determinanti per dirlo?...
Certamente. Affinché siano l.d. il determinante di questa matrice deve essere uguale a 0. Pertanto ottengo $-2x+4y=0$ cioè quanto cercavo... [emoji2]
Grazie mille!!! [emoji4]
Grazie mille!!! [emoji4]
"Samy21":
Certamente. Affinché siano l.d. il determinante di questa matrice deve essere uguale a 0. Pertanto ottengo $-2x+4y=0$ cioè quanto cercavo... [emoji2]
Grazie mille!!! [emoji4]
Felice di esserti stato utile
. A presto!
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