Eq cartesiane autospazio con autovalori
Ragazzi ho un dubbio, se ho una matrice A simmetrica 3x3 e so che gli unici autovalori sono 1 e 7 e che l'autospazio associato all'autovalore 1 e' $ Span( ( 2 ),( 1 ),( -3 ) ) $ come trovo le equazioni dell'autospazio associato all'autovalore 7.
Io ho pensato che vedendo l'autospazio di 1 noto che la molteplicita' geometrica associata e uguale ad 1 , essendo l'unico altro autovalore 7 esso dovra' avere una molteplicita' geometrica uguale a 2. Questo perche' essendo simmetrica essa sara' anche diagonalizzabile e per essere diagonalizzabile la somma delle molteplicita' geometriche degli autovalori deve essere uguale alla dimensione dello spazio (condizione sufficiente).
Inoltre vedendo l'autospazio 1 ho che $ x=2t ; y=t ; z=-3t; $ quindi l'equazione cartesiana del sottospazio e' $ 3x-2z=0 ; x-2y=0 $
Non avendo nessuna informazione sulla matrice A pero' non so come agire per trovare l'autospazio associato a 7.
Io ho pensato che vedendo l'autospazio di 1 noto che la molteplicita' geometrica associata e uguale ad 1 , essendo l'unico altro autovalore 7 esso dovra' avere una molteplicita' geometrica uguale a 2. Questo perche' essendo simmetrica essa sara' anche diagonalizzabile e per essere diagonalizzabile la somma delle molteplicita' geometriche degli autovalori deve essere uguale alla dimensione dello spazio (condizione sufficiente).
Inoltre vedendo l'autospazio 1 ho che $ x=2t ; y=t ; z=-3t; $ quindi l'equazione cartesiana del sottospazio e' $ 3x-2z=0 ; x-2y=0 $
Non avendo nessuna informazione sulla matrice A pero' non so come agire per trovare l'autospazio associato a 7.
Risposte
Ma no. C'è una informazione fondamentale sugli autospazi delle matrici simmetriche: come sono tra loro?
Sono ortogonali, quindi mi basta trovare un qualsiasi autospazio ortogonale di 7, giusto?
Il ragionamento che avevo fatto sulle moltiplicita dovrebbe comunque essere corretto, giusto?
EDIT:
Dopo averci dormito su ho risolto,A risulta essere simmetrica e quindi per il Teorema Spettrale esiste una base ortonormale di $ R^n $ formata dagli autovettori di A ne deriva che gli autospazi di A generano tutto $ R^n $ quindi come avevo ipotizzato la somma delle molteplicita' geometriche deve dare 3 inoltre gli autospazi sono a due a due ortogonali.
Essendo $ dim V(1)=1 $ allora $ dim V(7)=2 $, la condizione da rispettare affinche' possa trovare una base ortogonale e' che $ 2x+y-3z=0 $ ricavo quindi la base $ B(V7)= {( ( -1/2 ),( 1 ),( 0 ) ) '( ( 3/2 ),( 0 ),( 1 ) ) } $ ma non sono ortogonali tra loro quindi trovo i corrispettivi ortogonali tramite Gram Schmidt cioe' $ B(V7)= {( ( -1/2 ),( 1 ),( 0 ) ) '( ( 6/5 ),( 3/5 ),( 1 ) ) } $
ora semplicemente trovo le equazioni cartesiane cioe' $ -1/2x+y=6/5x+3/5y+z=0 $
Spero sia tutto corretto, ho riportato tutto qui affinche' possa essere d'aiuto ad altri.
Il ragionamento che avevo fatto sulle moltiplicita dovrebbe comunque essere corretto, giusto?
EDIT:
Dopo averci dormito su ho risolto,A risulta essere simmetrica e quindi per il Teorema Spettrale esiste una base ortonormale di $ R^n $ formata dagli autovettori di A ne deriva che gli autospazi di A generano tutto $ R^n $ quindi come avevo ipotizzato la somma delle molteplicita' geometriche deve dare 3 inoltre gli autospazi sono a due a due ortogonali.
Essendo $ dim V(1)=1 $ allora $ dim V(7)=2 $, la condizione da rispettare affinche' possa trovare una base ortogonale e' che $ 2x+y-3z=0 $ ricavo quindi la base $ B(V7)= {( ( -1/2 ),( 1 ),( 0 ) ) '( ( 3/2 ),( 0 ),( 1 ) ) } $ ma non sono ortogonali tra loro quindi trovo i corrispettivi ortogonali tramite Gram Schmidt cioe' $ B(V7)= {( ( -1/2 ),( 1 ),( 0 ) ) '( ( 6/5 ),( 3/5 ),( 1 ) ) } $
ora semplicemente trovo le equazioni cartesiane cioe' $ -1/2x+y=6/5x+3/5y+z=0 $
Spero sia tutto corretto, ho riportato tutto qui affinche' possa essere d'aiuto ad altri.
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