Enunciato incomprensibile di un teorema di topologia
Sia $X$ uno spazio topologico tale che ogni suo punto ammetta una base di intorni numerabile e sia $A$ un sottoinsieme di $X$. Allora vale $\overline{A}=\{x\inX; x=\lim_{x->infty} x_n\ con\ x_n\in A\}$. Dove $\overline{A}$ è chiusura di $A$.
Che vuol dire la parte fra parentesi? Che significa che $x_n \in A$? Che $x_n ->$ ad un punto appartenente ad $A$ o che $x_n$ è tale che $n\in A$?
Che vuol dire la parte fra parentesi? Che significa che $x_n \in A$? Che $x_n ->$ ad un punto appartenente ad $A$ o che $x_n$ è tale che $n\in A$?
Risposte
Il teorema ti assicura che (nelle ipotesi poste su \(X\)) la chiusura topologica di \(A\), cioè \(\overline{A}\), coincide con la chiusura sequenziale di \(A\), chiamala \(\overline{A}^{\text{S}}\), il quale è l'insieme costituito da tutti i punti di \(X\) che sono limiti di successioni di punti di \(A\), in simboli:
\[x\in \overline{A}^{\text{S}} \qquad \Leftrightarrow\ \qquad \exists (x_n)_{n\in \mathbb{N}}\subseteq A:\ \lim x_n= x \text{ in } X.\]
Nota che si ha sempre \(\overline{A}^{\text{S}} \subseteq \overline{A}\), però non sempre vale il viceversa, sicché in generale la chiusura sequenziale di un insieme può contenere strettamente meno punti della chiusura topologica.
\[x\in \overline{A}^{\text{S}} \qquad \Leftrightarrow\ \qquad \exists (x_n)_{n\in \mathbb{N}}\subseteq A:\ \lim x_n= x \text{ in } X.\]
Nota che si ha sempre \(\overline{A}^{\text{S}} \subseteq \overline{A}\), però non sempre vale il viceversa, sicché in generale la chiusura sequenziale di un insieme può contenere strettamente meno punti della chiusura topologica.
Cosa vuol dire "limiti di successioni di punti di $A$" ? Che cosa appartiene ad $A$, la roba che ci metto dentro?
Te l'ho scritto... Gli elementi della successione approssimante \((x_n)\) appartengono ad \(A\) (in simboli, \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\subseteq A\)).
Ad esempio, se \(A=]0,1]\), hai che \(\overline{A}^{\text{S}} =[0,1] =A\cup \{0\}\): infatti:
- se \(x\in A\), allora la successione di termine generale \(x_n=x\) è fatta da punti di \(A\) e converge ad \(x\), ergo \(x\in \overline{A}^{\text{S}}\);
- se \(x=0\), allora basta prendere \(x_n=1/n\) per ottenere una successione di punti di \(A\) che converge a \(0\), ergo \(0\in \overline{A}^{\text{S}}\);
- d'altra parte, se \(x\notin [0,1]\) allora non è possibile determinare successioni di punti di \(A\) convergenti ad \(x\) (poiché se ciò, per assurdo, fosse possibile si avrebbe \(x_n\notin A\) per \(n\) sufficientemente grande -perchè?- e questa è una contraddizione), quindi \(x\notin \overline{A}^{\text{S}}\).
Ad esempio, se \(A=]0,1]\), hai che \(\overline{A}^{\text{S}} =[0,1] =A\cup \{0\}\): infatti:
- se \(x\in A\), allora la successione di termine generale \(x_n=x\) è fatta da punti di \(A\) e converge ad \(x\), ergo \(x\in \overline{A}^{\text{S}}\);
- se \(x=0\), allora basta prendere \(x_n=1/n\) per ottenere una successione di punti di \(A\) che converge a \(0\), ergo \(0\in \overline{A}^{\text{S}}\);
- d'altra parte, se \(x\notin [0,1]\) allora non è possibile determinare successioni di punti di \(A\) convergenti ad \(x\) (poiché se ciò, per assurdo, fosse possibile si avrebbe \(x_n\notin A\) per \(n\) sufficientemente grande -perchè?- e questa è una contraddizione), quindi \(x\notin \overline{A}^{\text{S}}\).
Ok, grazie. Ho capito anche la dimostrazione. Il problema sono le successioni. Non le ho mai viste in questo modo, cioè intese come un insieme ordinato di punti di un insieme, cioè gli elementi $y_j$ risultati de termine $x_j$ della successione $x_n$. Nel teorema successivo che stabilisce che in uno spazio metrico $X$ è un sottoinsieme $K$ è compatto se e solo se è chiuso e sequenzialmente compatto la dimostrazione è del tipo:
$1.$ $C$ e $S.COMP=>COMP$.
$2.$ $COMP=>C$ e $S.COMP$.
La parte $1$ è dimostrata come $\not (\not S.COMP.)=>S.COMP.$ (data per scontata la chiusura) e qui arriva il problema:
"Supponiamo che $K$ non sia sequenzialmente compatto, allora non esiste una successione $x_n$ di $K$ che abbia una sottosuccessione convergente. Tale successione deve avere quindi infiniti elementi diversi fra loro, in caso contrario otterremmo una sottosuccessione stazionaria convergente."
Che significa la parte sottolineata?
$1.$ $C$ e $S.COMP=>COMP$.
$2.$ $COMP=>C$ e $S.COMP$.
La parte $1$ è dimostrata come $\not (\not S.COMP.)=>S.COMP.$ (data per scontata la chiusura) e qui arriva il problema:
"Supponiamo che $K$ non sia sequenzialmente compatto, allora non esiste una successione $x_n$ di $K$ che abbia una sottosuccessione convergente. Tale successione deve avere quindi infiniti elementi diversi fra loro, in caso contrario otterremmo una sottosuccessione stazionaria convergente."
Che significa la parte sottolineata?
Che significa la parte sottolineata?Come è scritta mi pare chiara, tuttalpiù posso provare a farti un esempio concreto. Prendi la successione di numeri reali
\[(1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 4, \ldots , 1, 2, 1, 3, 1, 4, \ldots).\]
Essa consiste di un numero finito di elementi (quattro). La parte sottolineata ci dice che dobbiamo necessariamente essere in grado di trovarne una estratta stazionaria (ovvero costante): e difatti è così, ad esempio la sottosuccessione costituita dai termini di posto pari è \((1, 1, 1, 1, \ldots)\).
Nei miei appunti l'ultimo teorema occupa quattro facciate. C'è qualche fonte consultabile online?
Quale sarebbe l'ultimo teorema? Il fatto che in uno spazio metrico un sottoinsieme è compatto se e solo se è (chiuso e) compatto per successioni?
Tanto per incominciare che fonte stai usando? Potresti inoltre, come dice dissonance, scrivere per bene il teorema che ci stai chiedendo?
Metodi matematici, dispense del prof 
Pagina 150 dell'indice. Pagina 156 nel mio lettore pdf. Teo 2.22 Sia X uno spazio metrico. Allora un sottoinsieme K è compatto se e solo se K è chiuso e sequenzialmente compatto. link.
Pagina 150 dell'indice. Pagina 156 nel mio lettore pdf. Teo 2.22 Sia X uno spazio metrico. Allora un sottoinsieme K è compatto se e solo se K è chiuso e sequenzialmente compatto. link.
Quella è una dimostrazione un poco lunga, in effetti. Prova a vedertela su Munkres, Topology, Theorem 28.2. Tieni conto che per lui "sequenzialmente compatto" corrisponde al tuo "chiuso e sequenzialmente compatto". Tra l'altro la notazione di gran lunga più usata è la sua.
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