Endomorifismi diagonalizzabili ?
ciao ho un problema qualcuno mi sa dimostrare questi 2 teoremi
1) un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se gli autospazi sono in somma diretta
2) la somma delle molteplicita geometriche degli autovalori=n se solo se gli autospazi sono in somma diretta
grazie ragazzi siate dettagliati se potete
1) un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se gli autospazi sono in somma diretta
2) la somma delle molteplicita geometriche degli autovalori=n se solo se gli autospazi sono in somma diretta
grazie ragazzi siate dettagliati se potete
Risposte
Per 1 provo a darti una risposta, però questa cosa mi torna se l'endomorfismo si trova su un campo algebricamente chiuso e vi si costruisca sopra lo spazio vettoriale di dimensione $n$:
$=>$
Sia $A$ la matrice associata all'endomorfismo, essa è diagonalizzabile il che implica che il suo polinomio minimo $q_A (x)$ ha tutte radici semplici (se vuoi si può dimostrare). Ora le radici di $q_A (x)$ sono proprio gli autovalori ${\lambda_1,...,\lambda_k}$ di $A$ si ha che posso scrivere $q_A (x) = \prod_{\lambda in \sigma (A)} (x-\lambda)$ e questo lo posso fare perchè sono in un campo algebricamente chiuso. Mi costruisco allora dei polinomi $p_j (x)= \prod_{i !=j} (x-\lambda_i)$. Si osserva subito che $MCD(p_1,...,p_k)=1$ per costruzione. Dunque esisteranno degli $a_j (x)$ polinomi tali che $\sum_{j=1}^k a_j(x)p_j(x)=1$. Si osservi che $p_j (A) in V_{\lambda_j} (A)= ker(A- \lambda_j I)$. Infatti $p_j(A)(A-\lambda_j I)=\prod_{\lambda in \sigma (A)} (A-\lambda I)=q_A(A)=0$. Allora se $v$ è un vettore qualsiasi nello spazio vettoriale costruito sul campo di partenza si ha che $v=\sum_{j=1}^k a_j(x)p_j(x) v$ ed allora tale spazio vettoriale è proprio $\sum_{j=1}^k V_{\lambda_j} (A)$. Adesso quindi la dimensione delle somme è proprio $n$, e poichè $dim (V_{\lambda_j} (A)) <= \mu_a(\lambda_j)$ (se vuoi ti dimostro anche questo) qui deve valere che $dim(\sum_{j=1}^k V_{\lambda_j} (A))=\sum_{j=1}^k \mu_a(\lambda_j)$ e vale l'$=$ poichè tale dimenzione è messima ($n$) (con $\mu_a(\lambda_j)$ indico la molteplicità algebrica di $\lambda_j$). Quindi $dim(\sum_{j=1}^k V_{\lambda_j} (A))=\sum_{j=1}^k dim( V_{\lambda_j} (A))$ il che è determina la somma diretta.
$lArr$
Sia $F$ endomorfismo ad $A$ la sua matrice. Se lo spazio vettoriale è somma diretta di Autospazi di $A$, comunque presa una base la posso scrivere come combinazione lineare di autovettori di $A$. Quindi esiste una base di autovettori di $A$ per lo spazio vettoriale. Qundi $F$ è diagonalizzabile.
$=>$
Sia $A$ la matrice associata all'endomorfismo, essa è diagonalizzabile il che implica che il suo polinomio minimo $q_A (x)$ ha tutte radici semplici (se vuoi si può dimostrare). Ora le radici di $q_A (x)$ sono proprio gli autovalori ${\lambda_1,...,\lambda_k}$ di $A$ si ha che posso scrivere $q_A (x) = \prod_{\lambda in \sigma (A)} (x-\lambda)$ e questo lo posso fare perchè sono in un campo algebricamente chiuso. Mi costruisco allora dei polinomi $p_j (x)= \prod_{i !=j} (x-\lambda_i)$. Si osserva subito che $MCD(p_1,...,p_k)=1$ per costruzione. Dunque esisteranno degli $a_j (x)$ polinomi tali che $\sum_{j=1}^k a_j(x)p_j(x)=1$. Si osservi che $p_j (A) in V_{\lambda_j} (A)= ker(A- \lambda_j I)$. Infatti $p_j(A)(A-\lambda_j I)=\prod_{\lambda in \sigma (A)} (A-\lambda I)=q_A(A)=0$. Allora se $v$ è un vettore qualsiasi nello spazio vettoriale costruito sul campo di partenza si ha che $v=\sum_{j=1}^k a_j(x)p_j(x) v$ ed allora tale spazio vettoriale è proprio $\sum_{j=1}^k V_{\lambda_j} (A)$. Adesso quindi la dimensione delle somme è proprio $n$, e poichè $dim (V_{\lambda_j} (A)) <= \mu_a(\lambda_j)$ (se vuoi ti dimostro anche questo) qui deve valere che $dim(\sum_{j=1}^k V_{\lambda_j} (A))=\sum_{j=1}^k \mu_a(\lambda_j)$ e vale l'$=$ poichè tale dimenzione è messima ($n$) (con $\mu_a(\lambda_j)$ indico la molteplicità algebrica di $\lambda_j$). Quindi $dim(\sum_{j=1}^k V_{\lambda_j} (A))=\sum_{j=1}^k dim( V_{\lambda_j} (A))$ il che è determina la somma diretta.
$lArr$
Sia $F$ endomorfismo ad $A$ la sua matrice. Se lo spazio vettoriale è somma diretta di Autospazi di $A$, comunque presa una base la posso scrivere come combinazione lineare di autovettori di $A$. Quindi esiste una base di autovettori di $A$ per lo spazio vettoriale. Qundi $F$ è diagonalizzabile.
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