Endomorfismo, valori del parametro h tali che...

[Dxerxes]

salve ragazzi questo esercizio è composto da due punti:

Assegnato l'endomorfismo:

$ f_h : (x; y; z) in RR^3 ->(2x-y ; hx+(3-h)y+hz ; y+2z) in RR^3 , h in RR $

a) Determinare gli autovalori di fh e i valori di h tali che
fh sia diagonalizzabile.
RISPOSTA: Gli autovalori sono
$ k_1 = 2 $ e $ k_2 = 3 -h $.

$f_h$ è diagonalizzabile per $ h = 0 $.

b) Determinare i valori del parametro h tali che
$dim(Kerf_h) = 1 $. RISPOSTA: h = 3.

Allora io con gli autovalori mi trovo, ma col fatto che è diagonalizzabile per h=0 no, io mi trovo che "non è diagonalizzabile per h=1 " ma vabbè...
Il punto della situazione è che il secodno punto non so proprio farlo >.< qualcuno può illuminari magari con qualche linea guida? grazie mille

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Rispondo al secondo punto.

La matrice $A_h$ associata all'endomorfismo $f_h$ è data da

$A_h=((2,-1,0),(h,3-h,h),(0,1,2))$

Dal momento che il primo e il terzo vettore riga della matrice $A_h$ sono chiaramente linearmente indipendenti, è evidente che i valori possibili di $rk(A_h)$ sono $2$ o $3$.

Per il teorema nullità + rango, la condizione $dimKerf_h=1$ dovrebbe essere soddisfatta quando $rk(A_h)=dimIm(f_h)=2$; per ottenere quest'ultima condizione, dovrebbe essere sufficiente richiedere che il determinante della matrice $A_h$ sia nullo:

$|A_h|=0 Rightarrow ... Rightarrow 12-4h=0 Rightarrow h=3$

Saluti.