Endomorfismo - nucleo

[flosfloris]

ciao a tutti il mio prof sul suo libro ha scritto :
se abbiamo un endomorfismo di uno spazio vettoriale V di dimensione N e il nucleo=0 allora la funzione è suriettiva....
.. ma scusatemi una funzione non è suriettiva quando il nucleo coincide con il codominio e iniettiva quando il nucleo è nullo'????

[_prime_number]

Una funzione f (anche non lineare) è suriettiva quando l'immagine del dominio coincide col codominio.
Una funzione lineare f è iniettiva se e solo se N(f)={0}.

Ricorda la regola degli omorfismi. Se $f:V->W$ è un omomorfismo di K-spazi vettoriali si ha dim(V)=dim(Im(f))+dim(N(f)).
In questo caso hai che per ipotesi dim(N(f))=0. Allora N=dim(V)=dim(Im(f)).
Ora, dato che si tratta di un endomorfismo, Im(f) sarà un sottospazio vettoriale di V. Ma abbiamo visto che ha dimensione N, cioè la dimensione di V stesso. Quindi necessariamente Im(f)=V ovvero la funzione è suriettiva.

Paola

[flosfloris]

ti ringrazio tantissimo....
per caso qualcuno sa svolgermi questo esercizio?
si studi l'applicazione lineare L:R2(x)-R3(x) definita da
L(ax+bx+cx^2) = (a+b)+(a-2b)x+(c-a)x^2 + (b-c) x^3