Endomorfismo non determinato

[Vincent2]

Avendo
$F(-1,0,0)=(-1,0,-1)$
$F(1,-1,0)=(4,-1,1)$
$F(-1-1,1)=(2,-2,1)$

Come calcolo $F(-4,0,1)?$ In generale, F=??

[ciampax]

Rappresenta il vettore in termini di combinazione lineare dei tre vettori di cui conosci l'immagine. Poi applica la linearità dell'applicazione e il gioco è fatto.

[Vincent2]

Pare che tu oggi sia il mio "professore privato" ti ringrazio ancora (e sarei ancor piu' contento se rispondessi anche dall'altra parte)
In primis ho notato che i 3 vettori su cui applico F sono una base e quindi anche i vettori trasformati.

Rappresenta il vettore in termini di combinazione lineare dei tre vettori di cui conosci l'immagine. Poi applica la linearità dell'applicazione e il gioco è fatto.

Quale vettore?

[ciampax]

Allora, proprio perché sno una base, puoi esprimere ogni vettore come loro combinazione lineare. Se indichi questi tre vettori con $v_1, v_2, v_3$ allora il vettore che hai proposto $v=(-4,0,1)$ puo essere scritto come $v=a v_1+b v_2+c v_3$ per una opportuna scelta di $a,b,c$. Una volta fatto questo, hai che, dette $f_i=F(v_i)$

$F(v)=a f_1+b f_2+c f_3$

e il gioco è fatto. Sta tutto a capire quanto valgono $a,b,c$.

P.S.: quale altra discussione?

[Vincent2]

Ok fin qui ci siamo.
Ma penso che ci sia il bisogno di trovare anche la funzione F in forma di equazioni, poichè come secondo punto mi chiede di determinare autovalori e autovettori.

https://www.matematicamente.it/forum/ese ... 05-10.html

[ciampax]

Ah, ok. Anche quello è facile. Devi determinare una matrice associata all'endomorfismo relativa a questa base. Allora devi semplicemente determinare dei coefficienti $x_i, y_i, z_i$ tali che

$f_i=x_i v_1+y_i v_2+z_i v_3$.

Ad esempio per il primo trovi che

$(-1,0,-1)=(-x_1+y_1-z_1, -y_1-z_1, z_1)$ e quindi $z_1=-1,\ y_1=1,\ x_1=3$, e così via. A quel punto scrivi la matrice associata mettendo tutte le $x$ sulla prima riga, le $y$ sulla seconda e le $z$ sulla terza, in ordine.

Ora riguardo l'altro.

[rubik2]

"Vincent":In primis ho notato che i 3 vettori su cui applico F sono una base e quindi anche i vettori trasformati.

questo è vero solo se l'endomorfismo è iniettivo altrimenti non funziona, non so se gli endomorfismi li prendi solo iniettivi in tal caso ritiro l'obiezione!

[ciampax]

No rubik, hai perfettamente ragione. In ogni caso, per fare tutto questo pastrocchio basta e avanza che i vettori di partenza siano una base. Di quello che accade all'arrivo poco ce ne cale!

[rubik2]

"ciampax":No rubik, hai perfettamente ragione. In ogni caso, per fare tutto questo pastrocchio basta e avanza che i vettori di partenza siano una base. Di quello che accade all'arrivo poco ce ne cale!

vero, ho voluto precisare per sicurezza