Endomorfismo Nilpotente
Sia $V$ uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita.
$\varphi in \text{End}(V)$ è detto nilpotente se $EE n in NN$ tale che $\varphi^n = 0$ (cioè $varphi$ applicato $n$ volte è l'endomorfismo nullo)
Io ho dei dubbi che $g$ sia sempre nilpotente. Mi spiego:
1) Se $f$ è diagonalizzabile, allora $g$ è nilpotente.
Infatti, presa ${v_1,...,v_k}$, base di $V$ formata da autovettori di $f$,
per ogni $i in {1,...,k}$ esiste $n_i in NN$ tale che $g^(n_i)(v_i)=0$
(altrimenti $f$ avrebbe infiniti autovalori, cosa che non può avvenire dal momento che $V$ ha dimensione finita).
Dunque preso $n:= max {n_1,..,n_k}$ abbiamo $g^n (v_i)=0$ per ogni $i in {1,..,k}$ da cui $g^n =0$.
2) Senza l'ipotesi di diagonalizzabilità per $f$, non credo si possa arrivare a dimostrare che $g$ sia nilpotente.
Infatti, in questo caso ci sono degli elementi di $V$ che non sono esprimibili come combinazione lineare di autovettori di $f$, e dunque non possiamo fare lo stesso "giochetto" di prima.
Sbaglio?
$\varphi in \text{End}(V)$ è detto nilpotente se $EE n in NN$ tale che $\varphi^n = 0$ (cioè $varphi$ applicato $n$ volte è l'endomorfismo nullo)
Siano $f,g \in \text{End}(V)$ con la seguente proprietà:
per ogni $v$ autovettore di $f$ con autovalore associato $lambda$,
$g(v)$ è anch'esso autovalore di $f$ con autovalore associato $lambda+1$
Dimostrare che $g$ è nilpotente
Io ho dei dubbi che $g$ sia sempre nilpotente. Mi spiego:
1) Se $f$ è diagonalizzabile, allora $g$ è nilpotente.
Infatti, presa ${v_1,...,v_k}$, base di $V$ formata da autovettori di $f$,
per ogni $i in {1,...,k}$ esiste $n_i in NN$ tale che $g^(n_i)(v_i)=0$
(altrimenti $f$ avrebbe infiniti autovalori, cosa che non può avvenire dal momento che $V$ ha dimensione finita).
Dunque preso $n:= max {n_1,..,n_k}$ abbiamo $g^n (v_i)=0$ per ogni $i in {1,..,k}$ da cui $g^n =0$.
2) Senza l'ipotesi di diagonalizzabilità per $f$, non credo si possa arrivare a dimostrare che $g$ sia nilpotente.
Infatti, in questo caso ci sono degli elementi di $V$ che non sono esprimibili come combinazione lineare di autovettori di $f$, e dunque non possiamo fare lo stesso "giochetto" di prima.
Sbaglio?
Risposte
Forse ho un controesempio:
Sia $f$ definita dalla matrice
\[ A_f= \left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0 \end{array} \right)\]
$f$ ha autovalore $0$ e autovettore $(1,0)$ e non è diagonalizzabile. Sia ora $g$ definita da
\[ A_g= \left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 1 \end{array} \right)\]
Il vettore $(1,0)$ sta nel kernel di $g$. Inoltre, $g^2=g$, quindi $g$ non è nilpotente (il vettore della base $(0,1)$ va sempre in sè tramite $g$).
Noto solo che se la matrice è diagonalizzabile posso prendere la dimensione dello spazio come $n$ per cui $g^n(v)=0$ per ogni $v$.
Inoltre, secondo me è mal posto il problema: una $g$ del genere non potrebbe esistere perché, a rigore, il vettore nullo non è mai autovettore.
Spero funzioni tutto, ciao!
Sia $f$ definita dalla matrice
\[ A_f= \left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0 \end{array} \right)\]
$f$ ha autovalore $0$ e autovettore $(1,0)$ e non è diagonalizzabile. Sia ora $g$ definita da
\[ A_g= \left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 1 \end{array} \right)\]
Il vettore $(1,0)$ sta nel kernel di $g$. Inoltre, $g^2=g$, quindi $g$ non è nilpotente (il vettore della base $(0,1)$ va sempre in sè tramite $g$).
Noto solo che se la matrice è diagonalizzabile posso prendere la dimensione dello spazio come $n$ per cui $g^n(v)=0$ per ogni $v$.
Inoltre, secondo me è mal posto il problema: una $g$ del genere non potrebbe esistere perché, a rigore, il vettore nullo non è mai autovettore.
Spero funzioni tutto, ciao!
Direi che il tuo controesempio funziona. Ti ringrazio
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