Endomorfismo - molteplicità geometrica
Salve a tutti, ho dei dubbi riguardo la molteplicità geometrica nella risoluzione degli endomorfismi,
procedo nel seguente modo: mi viene data l'applicazione lineare ed io ricavo la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica (o a quella data), trovo l'immagine di $f$, ricavo il kernel, poi passo all'equazione caratteristica (sapendo che le sue soluzioni reali sono gli autovalori di $f$) ed una volta che ottengo le radici, determino la molteplicità algebrica guardando ""quante volte compaiono"" nella matrice $(A- lambda I)$; ed infine dovrei trovare la molteplicità geometrica di ogni autovalore per determinare se l'endomorfismo è diagonalizzabile, il problema è proprio in quest'ultimo passaggio.
so che la molteplicità geometrica di un autolvalore $lambda$ è la dimensione dell'autospazio $E(lambda)$.
$E(lambda)$ = l'autospazio relativo all'autovalore $lambda$, che sarebbe il sottospazio vettoriale di $V$ dei vettori $v$ tali che $f(v) = lambda v$.
ma in pratica non riesco a capire come determinare la molteplicità geometrica degli autovalori.
se le $ma(lambda) = mg(lambda)$ di ogni autovalore allora l'endomorfismo è diagonalizzabile, oppure per esserlo deve esistere una base formata da autovettori (e quà ho un altro problema, ma ci sto lavorando).
Spero in qualche suggerimento per chiarire questi dubbi,
scusate per la lunghezza del topic ma ho voluto essere il più chiaro possibile.
Grazie per qualsiasi suggerimento!
procedo nel seguente modo: mi viene data l'applicazione lineare ed io ricavo la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica (o a quella data), trovo l'immagine di $f$, ricavo il kernel, poi passo all'equazione caratteristica (sapendo che le sue soluzioni reali sono gli autovalori di $f$) ed una volta che ottengo le radici, determino la molteplicità algebrica guardando ""quante volte compaiono"" nella matrice $(A- lambda I)$; ed infine dovrei trovare la molteplicità geometrica di ogni autovalore per determinare se l'endomorfismo è diagonalizzabile, il problema è proprio in quest'ultimo passaggio.
so che la molteplicità geometrica di un autolvalore $lambda$ è la dimensione dell'autospazio $E(lambda)$.
$E(lambda)$ = l'autospazio relativo all'autovalore $lambda$, che sarebbe il sottospazio vettoriale di $V$ dei vettori $v$ tali che $f(v) = lambda v$.
ma in pratica non riesco a capire come determinare la molteplicità geometrica degli autovalori.
se le $ma(lambda) = mg(lambda)$ di ogni autovalore allora l'endomorfismo è diagonalizzabile, oppure per esserlo deve esistere una base formata da autovettori (e quà ho un altro problema, ma ci sto lavorando).
Spero in qualche suggerimento per chiarire questi dubbi,
scusate per la lunghezza del topic ma ho voluto essere il più chiaro possibile.
Grazie per qualsiasi suggerimento!
Risposte
La molteplicità geometrica di un autovalore $lambda$ è la dimensione del sottospazio $ker(lambda-phi)$. Fammi sapere se ti è chiaro 
innanzitutto grazie per aver risposto 
mi dispiace ma non mi è chiaro
perchè non ho mai visto $ker(lambda-phi)$, il libro non ne parla e neanche nelle lezioni lo abbiamo fatto.
purtroppo il corso l'ho seguito l'anno scorso ed il procedimento che la prof ci ha fatto usare per calcolare $mg$ non lo ricordo proprio e gli appunti non mi aiutano
mi dispiace ma non mi è chiaro
perchè non ho mai visto $ker(lambda-phi)$, il libro non ne parla e neanche nelle lezioni lo abbiamo fatto.purtroppo il corso l'ho seguito l'anno scorso ed il procedimento che la prof ci ha fatto usare per calcolare $mg$ non lo ricordo proprio e gli appunti non mi aiutano
Tu hai la matrice $A$ associata all'applicazione lineare $phi$.
Una volta calcolato un autovalore vuoi determinarne la molteplicità geometrica, ovvero la dimensione dello spazio degli autovettori relativi a quell'autovalore.
Sia allora $lambda$ l'autovalore trovato, tu vuoi cercare quei vettori $v$ tali che $phi(v)=lambda*v$ ovvero $Av=lambda*v$ cioè $Av-lambda*v=(A-lambda)(v)=0$. Questo è equivalente a determinare la dimensione del nucleo dell'applicazione $A-lambda$.
Ricorda che $A-lambda$ è la differenza tra la matrice $A$ e la matrice unitaria moltiplicata per $lambda$.
Se hai ancora dei dubbi prova a postare un esempio.
Ciao!
Una volta calcolato un autovalore vuoi determinarne la molteplicità geometrica, ovvero la dimensione dello spazio degli autovettori relativi a quell'autovalore.
Sia allora $lambda$ l'autovalore trovato, tu vuoi cercare quei vettori $v$ tali che $phi(v)=lambda*v$ ovvero $Av=lambda*v$ cioè $Av-lambda*v=(A-lambda)(v)=0$. Questo è equivalente a determinare la dimensione del nucleo dell'applicazione $A-lambda$.
Ricorda che $A-lambda$ è la differenza tra la matrice $A$ e la matrice unitaria moltiplicata per $lambda$.
Se hai ancora dei dubbi prova a postare un esempio.
Ciao!
La molteplicità geometrica di un autovalore [tex]\lambda[/tex]è la dimensione dell'autospazio
relativo a [tex]\lambda[/tex]:
[tex]\mbox{dim} \, Ker (A - \lambda I)[/tex]
Per thedarkhero:
non ha senso scrivere [tex]A - \lambda[/tex]; ha invece senso scrivere [tex]A - \lambda I[/tex].
relativo a [tex]\lambda[/tex]:
[tex]\mbox{dim} \, Ker (A - \lambda I)[/tex]
Per thedarkhero:
non ha senso scrivere [tex]A - \lambda[/tex]; ha invece senso scrivere [tex]A - \lambda I[/tex].
Si, d'accordo. Comunque avevo precisato che si trattava della matrice unitaria moltiplicata per $lambda$
Ma non puoi chiamare con lo stesso nome due cose diverse!
Se scrivi [tex]\lambda[/tex] si intende un numero reale;
se scrivi [tex]\lambda I[/tex] si intende la matrice identica moltiplicata per [tex]\lambda[/tex].
Se scrivi [tex]\lambda[/tex] si intende un numero reale;
se scrivi [tex]\lambda I[/tex] si intende la matrice identica moltiplicata per [tex]\lambda[/tex].
dopo averci lavorato un pò e fatto qualche esercizio, ho capito.
Grazie ad entrambi!
ciao
Grazie ad entrambi!
ciao
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