Endomorfismo in dipendenza di 'a'

[oabkito]

Ciao ragazzi volevo saper se potevate darmi una mano su questo esercizio di cui vi posto il testo in foto:
http://tinypic.com/r/2jcwpef/6

volevo capire come trovare a.io li facevo così:
ad f(v) (colonne di destra) sottraggo le colonne di sinistra, quindi nel mio caso ho:
|a|-4
a^2+a+1

poi si eguagliano queste due di sopra a 0 cioè al kerf.ottengo quindi:
|a|-4=0
a^2+a+1=0

ma comunque come trovo a?
in attesa di risposta vi ringrazio sin d'ora

[Pierlu11]

Il teorema di esistenza e unicità ci dice che esiste unica un'applicazione lineare che manda i vettori della base dell'insieme di partenza in vettori qualunque appartenenti all'insieme di arrivo;
poiché $ {( ( 1 ),( 2 ) ),( ( 2 ),( 1 ) )} $ è una base, esiste unica ...
La terza condizione (quella col parametro) deve verificare necessariamente la funzione che hai trovato...
Quindi procedi così: trovi la funzione, calcoli l'immagine di $ ( ( 4 ),( -1 ) ) $ e la eguagli a $ ( ( |a| ),( a^2+a ) ) $ .

Prova a farlo e dimmi se ti è chiaro...

[oabkito]

Io ho scritto cosi':
Notiamo che $ ( (4), (-1) ) $ = $ -2( (1), (2) ) + 3( (2), (1) ) $
quindi per le proprietà degli endomorfismi risulta
$ f( (4), (-1) ) $ = $ -2f( (1), (2) ) + 3f( (2), (1) ) $ = 0+ $ 3( (1), (2) ) $ = $((3),(6))$
Quindi avremo
$ f( (4), (-1) ) $ =$((3),(6))$
Ma poichè $ f( (4), (-1) ) $ = $ ( (|a|), (a^2+a) ) $ facendo i calcoli ottengo a=-3.

Trovo adesso la matrice dell'endomorfismo che sarà $ ( ( a , b ),( c , d ) ) $ e scrivo quindi:
$ f( (0), (0) ) $= $ ( ( a , b ),( c , d ) )((1),(2)) $
e
$ f( (1), (2) ) $= $ ( ( a , b ),( c , d ) )((2),(1)) $
e risolvendo il sistema trovo:
a=2/3 b=-1/3 c=4/3 d=-7/3
la matrice è quindi:
$ ( ( 2/3 , -1/3 ),( 4/3 , -7/3 ) ) $
Cercando il polinomio corrente trovo: $ lambda ^2 $ =0 per cui ho 2 autovalori
La molteplicità algebrica è 2?
visto che l'autospazio che trovo è uno solo la molteplicità geometrica è 1?
ciò significa che non è diagonalizzabile?

[Pierlu11]

Per la matrice relativa all'endomorfismo basta scrivere le immagini dei vettori della base come combinazioni dei vettori della base stessa...
$ f(( ( 1 ),( 2 ) ) )=( ( 0 ),( 0 ) )=0( ( 1 ),( 2 ) )+0( ( 2 ),( 1 ) ) $
$ f(( ( 2 ),( 1 ) ) )=( ( 1 ),( 2 ) )=1( ( 1 ),( 2 ) )+0( ( 2 ),( 1 ) ) $
Dunque $ M_[B,B]=( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ) $

$ P(x)=det(( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) )-xI)=(-x)^2=x^2 $
A questo punto $ lambda=0 $ con molteplicità algebrica 2. Per sapere la molteplicità geometrica cerco la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore trovato...
$ ( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) )( ( x_1 ),( x_2 ) )=0 ( ( x_1 ),( x_2 ) ) $
$ { ( x_2=0 ),( 0=0 ):} $
$ { ( x_1=alpha ),( x_2=0 ):} $
$ ( ( x_1 ),( x_2 ) )= ( ( alpha ),( 0 ) )=alpha( ( 1 ),( 0 ) ) $
cioè $ A_0=<( ( 1 ),( 0 ) )> $ quindi $ dimA_0=1 $ che è la molteplicità geometrica dell'autovalore... Da ciò deduci che non è diagonalizzabile.