Endomorfismo generico

[mazzy89-votailprof]

devo trovare il generico endomorfismo $f:RR^3->RR^3$ tale che

$f$ composta $f$ sia uguale ad $f$,
$kef=V$
$Imf=W$

dove $V=L{(1,0,0),(0,1,0)}$ e $W=L{(1,1,1)}$

per determinare il seguente endomorfismo basta fare le seguenti considerazioni

$f(1,0,0)=0$
$f(0,1,0)=0$

questa è la condizione $kerf=V$

ma cosa vuol dire la condizione $f$ composta $f$ sia uguale a $f$?io ho supposto che voglia dire che $Imf sube Imf$.ovvero in altre parole l'immagine di $f$ è generata dagli elementi che generano l'immagine di $f$.è giusto come ragionamento?

qualcuno mi aiuti vi prego

[Giuly191]

Scrivere $Im f sube Im f$ non è che abbia molto senso.. è come scrivere $0=0$, è vero ma chissenefrega.
Piuttosto la condizione $f^2=f$ identifica i soli operatori detti idempotenti, che si dimostrano essere tutte simmetrie.
In questo esercizio scrivi la matrice rappresentativa rispetto alla base composta da $e_1,e_2$ e $(1,1,1)$.
Le prime due colonne sono di $0$, la terza dovrebbe essere $(0, 0 , a)$. Ti accorgi quindi che è diagonalizzabile e che gli unici autovalori ammessi da una simmetria sono $0$ e $1$. Da questo già si può concludere che $a=1$ e l'endomorfismo è unico.
Se vuoi puoi anche imporre la condizione $f(1,1,1)=a(1,1,1)=f(f(1,1,1))=f(a(1,1,1))=a^2(1,1,1) => a=a^2 => a=0 vv a=1$.
Se $a$ fosse nullo però avresti che $Ker f = V + W$, quindi deve essere $a=1$.

[mazzy89-votailprof]

ok innanzitutto grazie giuly19 per avermi tirato un salvagente. poi iniziamo per gradi così io possa capire.perché il vettore $(1,1,1)$ che fa parte dell'$Imf$ l'hai messo nel dominio?

io ho fatto il seguente ragionamento

$f(f(0,0,1))=a(1,1,1)$ ovvero $f(a(1,1,1))=a(1,1,1)$ cioè $f(1,1,1)=(1,1,1)$

ottengo lo stesso risultato ovvero $f$ composta $f$ è uguale ad $f$

[Giuly191]

"mazzy89":perché il vettore $(1,1,1)$ che fa parte dell'$Imf$ l'hai messo nel dominio?

Non è che l'ho messo nel dominio, lui già ci sta in $RR^3$ e si parla di un endomorfismo quindi..
Oltretutto il vettore è l.i. con i due della canonica che ti sono stati dati, quindi è un perfetto candidato per la base rispetto a cui rappresentare l'applicazione.

"mazzy89":io ho fatto il seguente ragionamento

$f(f(0,0,1))=a(1,1,1)$ ovvero $f(a(1,1,1))=a(1,1,1)$

Qui sbagli fissandoti sul completare la base con l'ultimo vettore della canonica, è una cosa che complica il ragionamento.
In ogni caso se scegliessi di rappresentarlo rispetto alla canonica cambierebbe il fatto che all'ultima colonna avresti $(a, a, a)$.
Puoi anche provare a finire così l'esercizio.. Io ora vado a studiare fammi sapere se ci riesci.

Ps: L'esercizio in sostanza ti chiede di capire che $(1,1,1)$ è autovettore relativo all'autovalore $1$; da cui segue che l'endomorfismo è diagonalizzabile. (Perchè?)