Endomorfismo esplicito e sistema lineare
salve!!!
ho un dubbio su un passaggio che mi permette di determinare l'endomorfismo esplicito.
supponiamo di operare nello spazio vettoriale $RR^4$, e supponiamo che
$B={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)}$ sia una base di $RR^4$
dobbiamo determinare l'unico endomorfismo $f$ di $RR^4$ tale che
$f((1,1,1,1))=(1,1,1,1)$
$f((1,1,1,0))=(1,1,0,0)$
$f((1,1,0,0))=(0,0,0,0)$
$f((1,0,0,0))=(1,1,1,1)$
io l'ho risolto in questo modo:
$f(x,y,z,t)=f(x(1,1,1,1)+y(1,1,1,0)+z(1,1,0,0)+t(1,0,0,0))=$ (per la linearità di $f$)
$=xf(1,1,1,1)+yf(1,1,1,0)+zf(1,1,0,0)+tf(1,0,0,0)=x(1,1,1,1)+y(1,1,0,0)+z(0,0,0,0)+t(1,1,1,1)$
ora il mio dubbio è:
$x(1,1,1,1)+y(1,1,0,0)+z(0,0,0,0)+t(1,1,1,1)=(x+y+t,x+y+t,x+t,x+t)$
oppure devo considerare che le entrate di quei vettori siano componenti rispetto alla base $B$ e quindi ottenere:
$x(1,1,1,1)+y(1,1,0,0)+z(0,0,0,0)+t(1,1,1,1)=x(4,3,2,1)+y(2,2,2,1)+z(0,0,0,0)+t(4,3,2,1)=(4x+2y+4t, 3x+2y+3t, 2x+2y+2t, x+y+t)$??
Avrei anche un altro chiarimento da chiedervi.
se mi viene dato un sistema lineare $AX=B$ e un vettore $v$, come posso dimostare che appartenga al nucleo dell'applicazione individuata dal sistema lineare?
in teoria dovrei poter dimostrare che $f(v)=0$, per definizione di vettore appartenente al nucleo di un'applicazione.
quindi è possibile che debba controllare che se sostituisco tale vettore $v$ al vettore colonna $X$ delle incognite, ottengo soluzioni tutte nulle? ossia la matrice colonna dei termini noti $B$ mi dia $(0,0.....0)$?
e se invece mi viene dato un vettore $u$ e mi si chiedere di verificare se è soluzione del sistema dato, mi basta sostituire tale vettore alla matrice colonna $X$ delle incognite e vedere se il sistema risulta avere come soluzione proprio la matrice colonna $B$ dei termini noti?
grazie infinite!!!
ho un dubbio su un passaggio che mi permette di determinare l'endomorfismo esplicito.
supponiamo di operare nello spazio vettoriale $RR^4$, e supponiamo che
$B={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)}$ sia una base di $RR^4$
dobbiamo determinare l'unico endomorfismo $f$ di $RR^4$ tale che
$f((1,1,1,1))=(1,1,1,1)$
$f((1,1,1,0))=(1,1,0,0)$
$f((1,1,0,0))=(0,0,0,0)$
$f((1,0,0,0))=(1,1,1,1)$
io l'ho risolto in questo modo:
$f(x,y,z,t)=f(x(1,1,1,1)+y(1,1,1,0)+z(1,1,0,0)+t(1,0,0,0))=$ (per la linearità di $f$)
$=xf(1,1,1,1)+yf(1,1,1,0)+zf(1,1,0,0)+tf(1,0,0,0)=x(1,1,1,1)+y(1,1,0,0)+z(0,0,0,0)+t(1,1,1,1)$
ora il mio dubbio è:
$x(1,1,1,1)+y(1,1,0,0)+z(0,0,0,0)+t(1,1,1,1)=(x+y+t,x+y+t,x+t,x+t)$
oppure devo considerare che le entrate di quei vettori siano componenti rispetto alla base $B$ e quindi ottenere:
$x(1,1,1,1)+y(1,1,0,0)+z(0,0,0,0)+t(1,1,1,1)=x(4,3,2,1)+y(2,2,2,1)+z(0,0,0,0)+t(4,3,2,1)=(4x+2y+4t, 3x+2y+3t, 2x+2y+2t, x+y+t)$??
Avrei anche un altro chiarimento da chiedervi.
se mi viene dato un sistema lineare $AX=B$ e un vettore $v$, come posso dimostare che appartenga al nucleo dell'applicazione individuata dal sistema lineare?
in teoria dovrei poter dimostrare che $f(v)=0$, per definizione di vettore appartenente al nucleo di un'applicazione.
quindi è possibile che debba controllare che se sostituisco tale vettore $v$ al vettore colonna $X$ delle incognite, ottengo soluzioni tutte nulle? ossia la matrice colonna dei termini noti $B$ mi dia $(0,0.....0)$?
e se invece mi viene dato un vettore $u$ e mi si chiedere di verificare se è soluzione del sistema dato, mi basta sostituire tale vettore alla matrice colonna $X$ delle incognite e vedere se il sistema risulta avere come soluzione proprio la matrice colonna $B$ dei termini noti?
grazie infinite!!!
Risposte
"Tagliafico":Questo passaggio è errato.
io l'ho risolto in questo modo:
$f(x,y,z,t)=f(x(1,1,1,1)+y(1,1,1,0)+z(1,1,0,0)+t(1,0,0,0))=...$
Piuttosto è
$(x,y,z,t)=x(1,0,0,0)+y(0,1,0,0)+z(0,0,1,0)+t(0,0,0,1)$
da cui segue che
(*) $f(x,y,z,t)=xf(1,0,0,0)+yf(0,1,0,0)+zf(0,0,1,0)+tf(0,0,0,1)$.
Dovresti lavorare così:
Calcola $f(1,0,0,0), f(0,1,0,0), f(0,0,1,0), f(0,0,0,1)$ e poi usa la relazione (*) per ottenere $f(x,y,z,t)$.
$f(1,0,0,0)$ ce l'hai già.
Usando la linearità di $f$ e il fatto che $(0,1,0,0)=(1,1,0,0)-(1,0,0,0)$
potresti calcolare $f(0,1,0,0)$, cioè
$f(0,1,0,0)=f(1,1,0,0)-f(1,0,0,0)=(0,0,0,0)-(1,1,1,1)=...$
Prosegui tu calcolando $f(0,0,1,0), f(0,0,0,1)$.
"cirasa":
Piuttosto è
$(x,y,z,t)=x(1,0,0,0)+y(0,1,0,0)+z(0,0,1,0)+t(0,0,0,1)$
da cui segue che
(*) $f(x,y,z,t)=xf(1,0,0,0)+yf(0,1,0,0)+zf(0,0,1,0)+tf(0,0,0,1)$.
Dovresti lavorare così:
Calcola $f(1,0,0,0), f(0,1,0,0), f(0,0,1,0), f(0,0,0,1)$ e poi usa la relazione (*) per ottenere $f(x,y,z,t)$.
$f(1,0,0,0)$ ce l'hai già.
Usando la linearità di $f$ e il fatto che $(0,1,0,0)=(1,1,0,0)-(1,0,0,0)$
potresti calcolare $f(0,1,0,0)$, cioè
$f(0,1,0,0)=f(1,1,0,0)-f(1,0,0,0)=(0,0,0,0)-(1,1,1,1)=...$
Prosegui tu calcolando $f(0,0,1,0), f(0,0,0,1)$.
quindi siccome $(x,y,z,t)$ secondo la base canonica di $RR^4$ è dato da $x(1,0,0,0)+y(0,1,0,0)+z(0,0,1,0)+t(0,0,0,1)$ usando la linearità dovrò calcolarmi le immagini?
allora dovrebbe venire
$f(1,0,0,0)=(1,1,1,1)$
$f(0,1,0,0)=(-1,-1,-1,-1)$
da quel che hai detto tu
e continuando i calcoli verrebbe
$f(0,0,1,0)=f(1,1,1,0)-f(1,1,0,0)=(1,1,0,0)-(0,0,0,0)=(1,1,0,0)$
$f(0,0,0,1)=f(1,1,1,1)-f(1,1,1,0)=(1,1,1,1)-(1,1,0,0)=(0,0,1,1)$
allora avrei
$f(x,y,z,t)=xf(1,0,0,0)+yf(0,1,0,0)+zf(0,0,1,0)+tf(0,0,0,1)=x(1,1,1,1)+y(-1,-1,-1,-1)+z(1,1,0,0)+t(0,0,1,1)=(x-y+z,x-y+z,x-y+t,x-y+t)$
giusto?
quindi è abbastanza semplice..
Ho letto velocemente, ma mi sembra giusto.
È semplice perché è semplice scrivere ogni vettore della base canonica come combinazione dei vettori della base nota.
Nel caso generale per ottenere questa combinazione devi risolvere un sistema.
In questo caso si vedeva a occhio che combinazione dovevamo prendere, ma non è detto che sia così.
Per esempio:
Sia $f:RR^2\to RR^3$ l'applicazione lineare tale che
$f(2,-1)=(1,0,0)$ e $f(1,1)=(0,-1,-1)$.
Determinare l'espressione di $f(x,y)$.
Devo capire quanto valgono $f(1,0)$ e $f(0,1)$.
Innanzitutto dovrei scrivere
$(1,0)=a(2,-1)+b(1,1)$,
dovrei trovare $a$ e $b$ e infine potrei scrivere
(*) $f(1,0)=af(2,-1)+bf(1,1)$.
E per trovare $a$ e $b$, dovrei scrivere la seguente uguaglianza $(1,0)=a(2,-1)+b(1,1)=(2a+b,-a+b)$, ottenendo il sistema
${(2a+b=1),(-a+b=0):}$
da cui posso trovare $a$ e $b$ che, sostituiti nella (*), mi permetteranno di trovare $f(1,0)$.
"Tagliafico":
...quindi è abbastanza semplice..
È semplice perché è semplice scrivere ogni vettore della base canonica come combinazione dei vettori della base nota.
Nel caso generale per ottenere questa combinazione devi risolvere un sistema.
In questo caso si vedeva a occhio che combinazione dovevamo prendere, ma non è detto che sia così.
Per esempio:
Sia $f:RR^2\to RR^3$ l'applicazione lineare tale che
$f(2,-1)=(1,0,0)$ e $f(1,1)=(0,-1,-1)$.
Determinare l'espressione di $f(x,y)$.
Devo capire quanto valgono $f(1,0)$ e $f(0,1)$.
Innanzitutto dovrei scrivere
$(1,0)=a(2,-1)+b(1,1)$,
dovrei trovare $a$ e $b$ e infine potrei scrivere
(*) $f(1,0)=af(2,-1)+bf(1,1)$.
E per trovare $a$ e $b$, dovrei scrivere la seguente uguaglianza $(1,0)=a(2,-1)+b(1,1)=(2a+b,-a+b)$, ottenendo il sistema
${(2a+b=1),(-a+b=0):}$
da cui posso trovare $a$ e $b$ che, sostituiti nella (*), mi permetteranno di trovare $f(1,0)$.
"cirasa":
Ho letto velocemente, ma mi sembra giusto.
È semplice perché è semplice scrivere ogni vettore della base canonica come combinazione dei vettori della base nota.
Nel caso generale per ottenere questa combinazione devi risolvere un sistema.
In questo caso si vedeva a occhio che combinazione dovevamo prendere, ma non è detto che sia così.
Per esempio:
Sia $f:RR^2\to RR^3$ l'applicazione lineare tale che
$f(2,-1)=(1,0,0)$ e $f(1,1)=(0,-1,-1)$.
Determinare l'espressione di $f(x,y)$.
Devo capire quanto valgono $f(1,0)$ e $f(0,1)$.
Innanzitutto dovrei scrivere
$(1,0)=a(2,-1)+b(1,1)$,
dovrei trovare $a$ e $b$ e infine potrei scrivere
(*) $f(1,0)=af(2,-1)+bf(1,1)$.
E per trovare $a$ e $b$, dovrei scrivere la seguente uguaglianza $(1,0)=a(2,-1)+b(1,1)=(2a+b,-a+b)$, ottenendo il sistema
${(2a+b=1),(-a+b=0):}$
da cui posso trovare $a$ e $b$ che, sostituiti nella (*), mi permetteranno di trovare $f(1,0)$.
ho capito. ho notato comunque che una volta capito il ragionamento è facile svolgere questo tipo di esercizio.
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