Endomorfismo e matrici rappresentative di f
Ciao 
vi scrivo subito il testo dell'esercizio
Si considerino l'endomorfismo: f:$RR$ ^3 $->$ $RR$^3 definito da
f(a,b,c)= (a+b, 0, b)
e si considerino le matrici
M= $((1,2,3),(1,2,3),(1,2,3))$ N=$((0,0,0),(3,0,0),(0,0,-1))$
a) si provi che non esistono basi B e C di $RR$ ^3 tali che M sia la matrice rappresentativa di f rispetto alla base B in dominio e C in arrivo
b) determinare invece dalle opportune basi, eventualmente diverse, di $RR$ ^3 tali che N sia la matrice rappresentativa di f rispetto a tali base
non so davvero da dove cominciare
grazie per l'aiuto!
vi scrivo subito il testo dell'esercizioSi considerino l'endomorfismo: f:$RR$ ^3 $->$ $RR$^3 definito da
f(a,b,c)= (a+b, 0, b)
e si considerino le matrici
M= $((1,2,3),(1,2,3),(1,2,3))$ N=$((0,0,0),(3,0,0),(0,0,-1))$
a) si provi che non esistono basi B e C di $RR$ ^3 tali che M sia la matrice rappresentativa di f rispetto alla base B in dominio e C in arrivo
b) determinare invece dalle opportune basi, eventualmente diverse, di $RR$ ^3 tali che N sia la matrice rappresentativa di f rispetto a tali base
non so davvero da dove cominciare
grazie per l'aiuto!
Risposte
Siano \(\mathcal{B} = \{b_1,b_2,b_3\}\) e \(\mathcal{C} = \{c_1,c_2,c_3\}\) due basi dello spazio vettoriale
\(\mathbb{R}^3\), e sia \(f\) il tuo endomorfismo \( {^t(a,b,c)}\mapsto {^t(a+b,0,b)} \). Per definizione, la matrice \(M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}(f)\) associata alle basi suddette è la matrice \( {\left( \alpha_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \right)}_{ij} \) le cui colonne sono le coordinate dell'immagine dei vettori della base di partenza secondo \(f\), esresse rispetto alla base di arrivo; in altre parole, \({\left(M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \right)}^j = f(b_j)\).
Ciò che è richiesto dal primo punto è di quindi di dimostrare che non esistono due basi \(\mathcal B = \{b_1,b_2,b_3\}\), \(\mathcal C = \{c_1,c_2,c_3\}\) tali che, se \(M\) è la matrice:
\[M = \begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 1&2&3 \\ 1&2&3 \end{pmatrix}\]
allora è \(M^j = f(b_j)\) per \(j = 1,2,3\), cioè tali che \(M=M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}(f)\).
Per quanto riguarda il secondo, ti occorre trovare due basi \(\mathcal V = \{v_1,v_2,v_3\}\) e \(\mathcal W =\{w_1,w_2,w_3\}\) tali che \(M_{\mathcal W}^{\mathcal V}(f) = N\). E tu sai "come è fatta" \(M_{\mathcal W}^{\mathcal V}(f) = N\).
Purtroppo adesso non riesco a scrivere la soluzione completa, se il tuo problema non era solo con le definizioni e con l'"impostazione" dei calcoli appena ho un po' di tempo edito e ce la aggiungo, ora sono di fretta.
\(\mathbb{R}^3\) oppure $RR^3$\(\mathbb{R}^3\), e sia \(f\) il tuo endomorfismo \( {^t(a,b,c)}\mapsto {^t(a+b,0,b)} \). Per definizione, la matrice \(M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}(f)\) associata alle basi suddette è la matrice \( {\left( \alpha_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \right)}_{ij} \) le cui colonne sono le coordinate dell'immagine dei vettori della base di partenza secondo \(f\), esresse rispetto alla base di arrivo; in altre parole, \({\left(M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \right)}^j = f(b_j)\).
Ciò che è richiesto dal primo punto è di quindi di dimostrare che non esistono due basi \(\mathcal B = \{b_1,b_2,b_3\}\), \(\mathcal C = \{c_1,c_2,c_3\}\) tali che, se \(M\) è la matrice:
\[M = \begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 1&2&3 \\ 1&2&3 \end{pmatrix}\]
allora è \(M^j = f(b_j)\) per \(j = 1,2,3\), cioè tali che \(M=M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}(f)\).
Per quanto riguarda il secondo, ti occorre trovare due basi \(\mathcal V = \{v_1,v_2,v_3\}\) e \(\mathcal W =\{w_1,w_2,w_3\}\) tali che \(M_{\mathcal W}^{\mathcal V}(f) = N\). E tu sai "come è fatta" \(M_{\mathcal W}^{\mathcal V}(f) = N\).
Purtroppo adesso non riesco a scrivere la soluzione completa, se il tuo problema non era solo con le definizioni e con l'"impostazione" dei calcoli appena ho un po' di tempo edito e ce la aggiungo, ora sono di fretta.
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