Endomorfismo e matrice canonicamente associata
Ciao,
ho un problema riguardo la risoluzione di un esercizio. So trovare sempre la matrice canonicamente associata ad un endomorfismo ma in questo esercizio mi vengono dati anche due autovettori e i relativi autovalori. In che modo dovrei procedere?
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Sia T l’endomorfismo di R3 tale che T (1, 0, 0) = (3, 2, 2) e tale che ha come autovettori (1, 0, 1) e (1, −1, −1) relativi rispettivamente agli autovalori (5) e (-1).
Dare la matrice A canonicamente associata a T
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Grazie
ho un problema riguardo la risoluzione di un esercizio. So trovare sempre la matrice canonicamente associata ad un endomorfismo ma in questo esercizio mi vengono dati anche due autovettori e i relativi autovalori. In che modo dovrei procedere?
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Sia T l’endomorfismo di R3 tale che T (1, 0, 0) = (3, 2, 2) e tale che ha come autovettori (1, 0, 1) e (1, −1, −1) relativi rispettivamente agli autovalori (5) e (-1).
Dare la matrice A canonicamente associata a T
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Grazie
Risposte
Si tratta di un esercizio classico che puoi risolvere in vari modi. Per esempio come segue .
$T(e_1)=(3,2,2)^t$
$T((1,0,1)^t)=T(e_1+e_3)=T(e_1)+T(e_3)=(5,0,5)^t$
$T((1,-1,-1)^t)=T(e_1-e_2-e_3)=T(e_1)-T(e_2)-T(e_3)=(-1,1,1)^t$
dalle 3 equazioni precedenti ricavi che :
$T(e_1)=(3,2,2)^t; T(e_2)=(2,3,-2)^t; T(e_3)=(2,-2,3)^t$
Disponendo in colonna i vettori $T(e_i)$ così trovati hai la matrice M richiesta :
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix}3&2&2\\2&3&-2\\2&-2&3 \end{pmatrix} \)
$T(e_1)=(3,2,2)^t$
$T((1,0,1)^t)=T(e_1+e_3)=T(e_1)+T(e_3)=(5,0,5)^t$
$T((1,-1,-1)^t)=T(e_1-e_2-e_3)=T(e_1)-T(e_2)-T(e_3)=(-1,1,1)^t$
dalle 3 equazioni precedenti ricavi che :
$T(e_1)=(3,2,2)^t; T(e_2)=(2,3,-2)^t; T(e_3)=(2,-2,3)^t$
Disponendo in colonna i vettori $T(e_i)$ così trovati hai la matrice M richiesta :
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix}3&2&2\\2&3&-2\\2&-2&3 \end{pmatrix} \)
Perdonami, ma purtroppo non ho capito bene i passaggi che hai eseguito.
Solitamente non bisogna trovare la matrice A=Y*[X^(-1)] ?
Solitamente non bisogna trovare la matrice A=Y*[X^(-1)] ?
Come ho scritto, ci sono vari modi per risolvere il quesito ( tra i quali ci sarà anche il tuo, sebbene io non abbia capito cosa sono Y ed X). Quello che ti ho descritto è il più classico e si basa sul fatto che un omomorfismo tra spazi vettoriali di dimensione 3 ( o di dimensione generica $n$) è determinato in maniera univoca quando di 3 vettori ( lin. ind.) si conoscono le corrispondenti immagini. Nel caso tuo i 3 vettori ( lin.ind.) sono :
$(1,0,0)^t,(1,0,1)^t,(1,-1,-1)^t$
e le corrispondenti immagini sono rispettivamente :
$(3,2,2) ^t,5 cdot (1,0,1)^t=(5,0,5)^t,-1 cdot (1,-1,-1)^t=(-1,1,1)^t$
A questo punto, se non hai compreso bene il mio metodo ( e ti converrebbe riprendere il libro in mano...) ti posso suggerire un altro metodo.
Esprimiamo il vettore generico $(x,y,z)^t$ in funzione dei vettori dati $(1,0,0)^t,(1,0,1)^t,(1,-1,-1)^t$ ponendo :
(1) $(x,y,z)^t=a(1,0,0)^t+b(1,0,1)^t+c(1,-1,-1)^t$
da cui il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}a+b+c=x\\-c=y\\b-c=z\end{cases} \)
La soluzione è :
$a=x+2y-z;b=-y+z;c=-y$
e quindi la (1) diventa:
(2) $(x,y,z)^t=(x+2y-z)(1,0,0)^t+(-y+z)(1,0,1)^t-y(1,-1,-1)^t$
Passiamo ora alle immagini tramite $T$ ed abbiamo :
$T(x,y,z)^t=(x+2y-z)T(1,0,0)^t+(-y+z)T(1,0,1)^t-yT(1,-1,-1)^t$
Ovvero :
$T(x,y,z)^t=(x+2y-z)(3,2,2)^t+(-y+z)(5,0,5)^t-y(-1,1,1)^t$
Eseguendo i facili calcoli risulta :
(3) $T(x,y,z)^t=(3x+2y+2z,2x+3y-2z,2x-2y+3z)$
Per avere la matrice M basta prendere i coefficienti a secondo membro della (3) e si ha :
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix}3&2&2\\2&3&-2\\2&-2&3\end{pmatrix} \)
$(1,0,0)^t,(1,0,1)^t,(1,-1,-1)^t$
e le corrispondenti immagini sono rispettivamente :
$(3,2,2) ^t,5 cdot (1,0,1)^t=(5,0,5)^t,-1 cdot (1,-1,-1)^t=(-1,1,1)^t$
A questo punto, se non hai compreso bene il mio metodo ( e ti converrebbe riprendere il libro in mano...) ti posso suggerire un altro metodo.
Esprimiamo il vettore generico $(x,y,z)^t$ in funzione dei vettori dati $(1,0,0)^t,(1,0,1)^t,(1,-1,-1)^t$ ponendo :
(1) $(x,y,z)^t=a(1,0,0)^t+b(1,0,1)^t+c(1,-1,-1)^t$
da cui il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}a+b+c=x\\-c=y\\b-c=z\end{cases} \)
La soluzione è :
$a=x+2y-z;b=-y+z;c=-y$
e quindi la (1) diventa:
(2) $(x,y,z)^t=(x+2y-z)(1,0,0)^t+(-y+z)(1,0,1)^t-y(1,-1,-1)^t$
Passiamo ora alle immagini tramite $T$ ed abbiamo :
$T(x,y,z)^t=(x+2y-z)T(1,0,0)^t+(-y+z)T(1,0,1)^t-yT(1,-1,-1)^t$
Ovvero :
$T(x,y,z)^t=(x+2y-z)(3,2,2)^t+(-y+z)(5,0,5)^t-y(-1,1,1)^t$
Eseguendo i facili calcoli risulta :
(3) $T(x,y,z)^t=(3x+2y+2z,2x+3y-2z,2x-2y+3z)$
Per avere la matrice M basta prendere i coefficienti a secondo membro della (3) e si ha :
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix}3&2&2\\2&3&-2\\2&-2&3\end{pmatrix} \)
Grazie mille,
sei stato chiarissimo!
sei stato chiarissimo!
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