Endomorfismo e matrice associata
ragazzi ho difficoltà a risolvere questo esercizio...secondo voi dove sbaglio?
sia $f: RR^3 \to RR^3$ endomorfismo tale che f$((0),(1),(1))$ = $ ((1),(0),(1))$ , f$((1),(0),(1))$ = $ ((0),(1),(1))$ , f$((1),(0),(2))$ = $ ((0),(0),(0))$. Stabilire se f è diagonalizzabile. Scrivere la matrice A(3x3) che rappresenta f nella base canonica di $RR^3$.
dunque io ho svolto cosi...
considerati v1=$((0),(1),(1))$ , v2=$ ((1),(0),(1))$, v3=$((1),(0),(2))$ essi costituiscono una base di $RR^3$ essendo il determinante della matrice, i cui vettori colonna sono proprio v1 v2 v3, diverso da zero e quindi i tre vettori linearmente indipendenti.
detto ciò essendo f(v1)= v2 , f(v2)=v1, f(v3)=0 la matrice associata all'applicazione lineare f rispetto alla base canonica di $RR^3$ sarà $((0,1,0),(1,0,0),(0,0,0))$ i cui vettori colonna sono le cordinate di f(vi) rispetto alla base B= (v1,v2,v3) di $RR^3$.
inoltre la matrice che ho trovato ammette determinante nullo.... in questo caso quali sarebbero gli autovalori e gli auto spazi di f se il polinomio caratteristico relativo alla matrice mi risulta già di per se zero? quindi porgendo la domanda in un contesto generale, quando la matrice associata all'applicazione ha determinante nullo , quali sono gli autovalori dell'applicazione?
solitamente sarebbero le soluzioni del polinomio caratteristico det(A-xI)=0... ma in questo caso specifico il det è gia nullo.
tuttavia la soluzione del problema mi porta che la matrice che rappresenta f nella base canonica di $RR^3$ è questa A=$((0,1,0),(2,1,-1),(2,2,-1))$
dove ho sbagliato? =(
attendo risposta, e ve ne sono riconoscente,..
sia $f: RR^3 \to RR^3$ endomorfismo tale che f$((0),(1),(1))$ = $ ((1),(0),(1))$ , f$((1),(0),(1))$ = $ ((0),(1),(1))$ , f$((1),(0),(2))$ = $ ((0),(0),(0))$. Stabilire se f è diagonalizzabile. Scrivere la matrice A(3x3) che rappresenta f nella base canonica di $RR^3$.
dunque io ho svolto cosi...
considerati v1=$((0),(1),(1))$ , v2=$ ((1),(0),(1))$, v3=$((1),(0),(2))$ essi costituiscono una base di $RR^3$ essendo il determinante della matrice, i cui vettori colonna sono proprio v1 v2 v3, diverso da zero e quindi i tre vettori linearmente indipendenti.
detto ciò essendo f(v1)= v2 , f(v2)=v1, f(v3)=0 la matrice associata all'applicazione lineare f rispetto alla base canonica di $RR^3$ sarà $((0,1,0),(1,0,0),(0,0,0))$ i cui vettori colonna sono le cordinate di f(vi) rispetto alla base B= (v1,v2,v3) di $RR^3$.
inoltre la matrice che ho trovato ammette determinante nullo.... in questo caso quali sarebbero gli autovalori e gli auto spazi di f se il polinomio caratteristico relativo alla matrice mi risulta già di per se zero? quindi porgendo la domanda in un contesto generale, quando la matrice associata all'applicazione ha determinante nullo , quali sono gli autovalori dell'applicazione?
solitamente sarebbero le soluzioni del polinomio caratteristico det(A-xI)=0... ma in questo caso specifico il det è gia nullo.
tuttavia la soluzione del problema mi porta che la matrice che rappresenta f nella base canonica di $RR^3$ è questa A=$((0,1,0),(2,1,-1),(2,2,-1))$
dove ho sbagliato? =(
attendo risposta, e ve ne sono riconoscente,..
Risposte
Quella che hai scritto è la matrice rispetto alla base che ti ha permesso di costruire l'applicazione lineare. Il testo ti chiede di determinare la matrice rispetto alla base canonica di $RR^3$, quindi la devi determinare!
Per studiare la diagonalizzabilità potresti usare anche la matrice che hai scritto, mi pare di intuire che metti in relazione il fatto che il determinante sia nullo di una matrice con la sua diagonalizzabilità, invece non ci sono relazioni tra i due concetti.
Per studiare la diagonalizzabilità potresti usare anche la matrice che hai scritto, mi pare di intuire che metti in relazione il fatto che il determinante sia nullo di una matrice con la sua diagonalizzabilità, invece non ci sono relazioni tra i due concetti.
"weblan":
Per studiare la diagonalizzabilità potresti usare anche la matrice che hai scritto, mi pare di intuire che metti in relazione il fatto che il determinante sia nullo di una matrice con la sua diagonalizzabilità, invece non ci sono relazioni tra i due concetti.
no nel senso che una volta determinata la matrice associata all'applicazione lineare, pongo uguale a zero
det(A-xI)=0 che tuttavia, se faccio riferimento alla matrice che ho scritto io è già un valore nullo. Non posso dunque avere gli autovalori dell'applicazione come soluzione di det(A-xI)=0 , dai quali determino le molteplicità algebrica e geometrica, e dico dunque se l'endomorfismo sia diagonalizzabile o meno.
se la matrice che ho scritto è sbagliata, come si determina quella dell'applicazione lineare?... ho questa difficoltà..
grazie
Puoi determinare le immagini dei vettori della base canonica di $RR^3$ tramite l'endomorfismo $f$.
Con qualche calcolo si vede subito che :
$f((1),(0),(0)) = ((0),(2),(2))$ , $f((0),(1),(0)) = ((1),(1),(2))$ , $f((0),(0),(1)) = ((0),(-1),(-1))$
Quindi puoi scrivere la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica.
Con qualche calcolo si vede subito che :
$f((1),(0),(0)) = ((0),(2),(2))$ , $f((0),(1),(0)) = ((1),(1),(2))$ , $f((0),(0),(1)) = ((0),(-1),(-1))$
Quindi puoi scrivere la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica.
O.O .... wow... questa è magia.... 
grazie mille. invece ripropongo il quesito
quando la matrice associata all'applicazione ha determinante nullo , quali sono gli autovalori dell'applicazione?
solitamente sarebbero le soluzioni del polinomio caratteristico det(A-xI)=0... ma in questo caso specifico il det è gia nullo.
grazie mille. invece ripropongo il quesito quando la matrice associata all'applicazione ha determinante nullo , quali sono gli autovalori dell'applicazione?
solitamente sarebbero le soluzioni del polinomio caratteristico det(A-xI)=0... ma in questo caso specifico il det è gia nullo.
"Seneca":
Puoi determinare le immagini dei vettori della base canonica di $RR^3$ tramite l'endomorfismo $f$.
Con qualche calcolo si vede subito che :
$f((1),(0),(0)) = ((0),(2),(2))$ , $f((0),(1),(0)) = ((1),(1),(2))$ , $f((0),(0),(1)) = ((0),(-1),(-1))$
Quindi puoi scrivere la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica.
ho capito concettualmente (finalmente) quello che mi hai detto. In pratica nell'applicazione lineare c'è un cambiamento di base , però non capisco quali calcoli mi permettono di calcolare le immagini dei vettori della base canonica.
ho pensato di usare in qualche modo la matrice del cambiamento di base ... però non mi riesce. come faccio?
thanks.
Non ho capito esattamente il tuo problema. Posta un esempio che così lo si può vedere assieme.
risolto grazie mille a tutti.
e1 = (1,0,0) = 2$v_{2}$ - $v_{3}$ e di conseguenza f(e1) = 2(f$v_{2}$) - f($v_{3}$) = (0,2,2) che è il primo vettore colonna della matrice cercata.
stessa cosa per gli altri due vettori della base canonica (0,1,0) e (0,0,1)
è giusto il procedimento che ho scritto?
e1 = (1,0,0) = 2$v_{2}$ - $v_{3}$ e di conseguenza f(e1) = 2(f$v_{2}$) - f($v_{3}$) = (0,2,2) che è il primo vettore colonna della matrice cercata.
stessa cosa per gli altri due vettori della base canonica (0,1,0) e (0,0,1)
è giusto il procedimento che ho scritto?
Sì, esatto.
Solo una cosa:
Attento: quando tu vai a calcolare il polinomio caratteristico, la matrice di cui calcoli il determinante è $A-xI !=A$, quindi il determinante non è affatto uguale a priori! Anzi, è proprio trovando il determinante di questa nuova matrice che trovi gli autovalori. Comunque se il determinante della tua matrice di partenza è nullo avrai almeno un autovalore nullo.
Solo una cosa:
"eagles10":
quando la matrice associata all'applicazione ha determinante nullo , quali sono gli autovalori dell'applicazione?
solitamente sarebbero le soluzioni del polinomio caratteristico det(A-xI)=0... ma in questo caso specifico il det è gia nullo.
Attento: quando tu vai a calcolare il polinomio caratteristico, la matrice di cui calcoli il determinante è $A-xI !=A$, quindi il determinante non è affatto uguale a priori! Anzi, è proprio trovando il determinante di questa nuova matrice che trovi gli autovalori. Comunque se il determinante della tua matrice di partenza è nullo avrai almeno un autovalore nullo.
si infatti . Domanda stupida.. agli elementi della diagonale principale dovevo sottrarre il "generico autovalore" , e quindi calcolare il determinante, porlo uguale a zero e ricavare le soluzioni.
grazie mille
grazie mille
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