Endomorfismo e forma bilineare simmetrica
Salve, ho dei dubbi nella risoluzione del seguente problema:
Per \( A:=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix} \) ho cercato il polinomio caratteristico \( (3-\lambda)(1-\lambda) \) al fine di determinare gli autovalori \( \lambda =1, \lambda=3 \).
Ho cercato \( (v\neq 0)\in ker(f_\lambda) : f_\lambda(v)=0 \) :
- per \( \lambda=1 \) l'autovettore è \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}=v_1 \)
- per \( \lambda=3 \) l'autovettore è \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=v_2 \).
Dunque \( v_1, v_2 \) sono una base ortogonale di autovettori, però non è ortonormale in quanto \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=6 \).
Pertanto normalizzo: \( v'=\frac{v_1}{||v_1||} \) , \( v"=\frac{v_2}{||v_2||} \).
Ora non capisco perché mi si chieda di verificare esplicitamente che la base sia ortogonale rispetto alla forma bilineare: vettori relativi ad autovalori distinti sono l.i. e di conseguenza anche ortogonali; giusto? In seguito mi è venuto un altro dubbio: come è fatta una base ortonormale rispetto a un endomorfismo, non è una caratteristica delle forme bilineari? Inoltre se una base è ortonormale rispetto a un endomorfismo non dovrebbe esserlo in automatico anche per una forma bilineare?
Per ciascuna delle seguenti matrici $ A $ simmetriche $ n × n $, si determini una base $ O $ ortonormale (rispetto al prodotto scalare standard) di autovettori dell’endomorfismo \( L_A: \mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R^n} | L_A(v):=Av \) .
Quindi si verifichi esplicitamente che $ O $ è una base $ b_A $ ortogonale, dove \( b_A:\mathbb{R^n} \times \mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R} \) è la forma bilineare simmetrica canonicamente indotta da $ A $, i.e., \( b_A(v,w):=^tvAw \) .
Si trovi infine la segnatura di $b_A$ .
Per \( A:=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix} \) ho cercato il polinomio caratteristico \( (3-\lambda)(1-\lambda) \) al fine di determinare gli autovalori \( \lambda =1, \lambda=3 \).
Ho cercato \( (v\neq 0)\in ker(f_\lambda) : f_\lambda(v)=0 \) :
- per \( \lambda=1 \) l'autovettore è \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}=v_1 \)
- per \( \lambda=3 \) l'autovettore è \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=v_2 \).
Dunque \( v_1, v_2 \) sono una base ortogonale di autovettori, però non è ortonormale in quanto \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=6 \).
Pertanto normalizzo: \( v'=\frac{v_1}{||v_1||} \) , \( v"=\frac{v_2}{||v_2||} \).
Ora non capisco perché mi si chieda di verificare esplicitamente che la base sia ortogonale rispetto alla forma bilineare: vettori relativi ad autovalori distinti sono l.i. e di conseguenza anche ortogonali; giusto? In seguito mi è venuto un altro dubbio: come è fatta una base ortonormale rispetto a un endomorfismo, non è una caratteristica delle forme bilineari? Inoltre se una base è ortonormale rispetto a un endomorfismo non dovrebbe esserlo in automatico anche per una forma bilineare?
Risposte
Ciao.
La prima parte è svolta quasi bene, dovevi normalizzare rispetto il prodotto scalare standard, non rispetto la forma bilineare!
Nope. Se hai una forma bilineare simmetrica non degenere $\phi$ hai che se i vettori $v_1, \ldots, v_n$ sono due a due ortogonali allora se $\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i = 0$ hai che
$$0 = \phi(v_j, 0) = \phi(v_j, \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \phi(v_j, v_i) = \lambda_j \phi(v_j, v_j)$$
e siccome la forma bilineare è non degenere si ha che $\phi(v_j, v_j) \ne 0$ da cui $\lambda_j = 0$ per ogni $j$, cioè i vettori sono linearmente indipendenti.
Il contrario invece è falso. Prendi per esempio come spazio vettoriale $\mathbb{R}^2$ e come forma bilineare simmetrica non degenere il prodotto scalare standard, allora hai che i vettori $(1, 0)$ e $(1, 1)$ sono linearmente indipendenti ma non sono ortogonali.
Infatti, esiste la nozione di ortogonalità rispetto una forma bilineare, non rispetto endomorfismi(magari esiste pure).
La base non è ortonormale rispetto all'endomorfismo. La base è composta da autovettori dell'endomorfismo ortonormali rispetto il prodotto scalare standard. Non è detto che se i vettori sono ortogonali rispetto la base standard lo siano automaticamente rispetto altre forme bilineari.
La prima parte è svolta quasi bene, dovevi normalizzare rispetto il prodotto scalare standard, non rispetto la forma bilineare!
Ora non capisco perché mi si chieda di verificare esplicitamente che la base sia ortogonale rispetto alla forma bilineare: vettori relativi ad autovalori distinti sono l.i. e di conseguenza anche ortogonali; giusto?
Nope. Se hai una forma bilineare simmetrica non degenere $\phi$ hai che se i vettori $v_1, \ldots, v_n$ sono due a due ortogonali allora se $\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i = 0$ hai che
$$0 = \phi(v_j, 0) = \phi(v_j, \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \phi(v_j, v_i) = \lambda_j \phi(v_j, v_j)$$
e siccome la forma bilineare è non degenere si ha che $\phi(v_j, v_j) \ne 0$ da cui $\lambda_j = 0$ per ogni $j$, cioè i vettori sono linearmente indipendenti.
Il contrario invece è falso. Prendi per esempio come spazio vettoriale $\mathbb{R}^2$ e come forma bilineare simmetrica non degenere il prodotto scalare standard, allora hai che i vettori $(1, 0)$ e $(1, 1)$ sono linearmente indipendenti ma non sono ortogonali.
In seguito mi è venuto un altro dubbio: come è fatta una base ortonormale rispetto a un endomorfismo, non è una caratteristica delle forme bilineari?
Infatti, esiste la nozione di ortogonalità rispetto una forma bilineare, non rispetto endomorfismi(magari esiste pure).
Inoltre se una base è ortonormale rispetto a un endomorfismo non dovrebbe esserlo in automatico anche per una forma bilineare?
La base non è ortonormale rispetto all'endomorfismo. La base è composta da autovettori dell'endomorfismo ortonormali rispetto il prodotto scalare standard. Non è detto che se i vettori sono ortogonali rispetto la base standard lo siano automaticamente rispetto altre forme bilineari.
Ti ringrazio per la risposta.
Ah, giusto. Leggendo il testo ("si determini una base O ortonormale di autovettori dell’endomorfismo") mi ero un po' confuso: ero convinto che intendesse la base ortonormale dell'endomorfismo.
Quindi \( p(v_1,v_1)=p(v_2,v_2)=2 \), per cui, normalizzati diventano \( v'=\frac{v_1}{\sqrt{2}},v"=\frac{v_2}{\sqrt{2}} \). Ora costituiscono una base (di autovettori dell'endomorfismo) ortonormale rispetto al prodotto scalare standard.
Nope. Se hai una forma bilineare simmetrica non degenere $\phi$ hai che se i vettori $v_1, \ldots, v_n$ sono due a due ortogonali allora se $\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i = 0$ hai che
$$0 = \phi(v_j, 0) = \phi(v_j, \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \phi(v_j, v_i) = \lambda_j \phi(v_j, v_j)$$
e siccome la forma bilineare è non degenere si ha che $\phi(v_j, v_j) \ne 0$ da cui $\lambda_j = 0$ per ogni $j$, cioè i vettori sono linearmente indipendenti.
Il contrario invece è falso. Prendi per esempio come spazio vettoriale $\mathbb{R}^2$ e come forma bilineare simmetrica non degenere il prodotto scalare standard, allora hai che i vettori $(1, 0)$ e $(1, 1)$ sono linearmente indipendenti ma non sono ortogonali.[/quote]Interessante! Davo per scontato che ortogonalità e indipendenza lineare fossero condizioni equivalenti.
Infatti, esiste la nozione di ortogonalità rispetto una forma bilineare, non rispetto endomorfismi(magari esiste pure).
La base non è ortonormale rispetto all'endomorfismo. La base è composta da autovettori dell'endomorfismo ortonormali rispetto il prodotto scalare standard. Non è detto che se i vettori sono ortogonali rispetto la base standard lo siano automaticamente rispetto altre forme bilineari.[/quote]
Quindi, per avere un po' di chiarezza, devo dimostrare che la base \( O=[v',v"] \) è b-ortogonale a $b_A$, cioè
\( b(v',v')=^tv'Av'=3 \); \(b(v',v")=b(v",v')=0 \); \(b(v'',v'')=1 \)
e la matrice rappresentativa in base $ O $ di $b_A$ è \( \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), che è una matrice diagonale (simiale ad A) avente sulla diagonale principale gli autovalori dell'endomorfismo; inoltre, siccome l'indice di positività è 2, uguale all'ordine della matrice, $b_A$ è un prodotto scalare.
"vlander":
Ciao.
La prima parte è svolta quasi bene, dovevi normalizzare rispetto il prodotto scalare standard, non rispetto la forma bilineare!
Ah, giusto. Leggendo il testo ("si determini una base O ortonormale di autovettori dell’endomorfismo") mi ero un po' confuso: ero convinto che intendesse la base ortonormale dell'endomorfismo.
Quindi \( p(v_1,v_1)=p(v_2,v_2)=2 \), per cui, normalizzati diventano \( v'=\frac{v_1}{\sqrt{2}},v"=\frac{v_2}{\sqrt{2}} \). Ora costituiscono una base (di autovettori dell'endomorfismo) ortonormale rispetto al prodotto scalare standard.
"vlander":
[quote="Gold D Roger"]Ora non capisco perché mi si chieda di verificare esplicitamente che la base sia ortogonale rispetto alla forma bilineare: vettori relativi ad autovalori distinti sono l.i. e di conseguenza anche ortogonali; giusto?
Nope. Se hai una forma bilineare simmetrica non degenere $\phi$ hai che se i vettori $v_1, \ldots, v_n$ sono due a due ortogonali allora se $\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i = 0$ hai che
$$0 = \phi(v_j, 0) = \phi(v_j, \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \phi(v_j, v_i) = \lambda_j \phi(v_j, v_j)$$
e siccome la forma bilineare è non degenere si ha che $\phi(v_j, v_j) \ne 0$ da cui $\lambda_j = 0$ per ogni $j$, cioè i vettori sono linearmente indipendenti.
Il contrario invece è falso. Prendi per esempio come spazio vettoriale $\mathbb{R}^2$ e come forma bilineare simmetrica non degenere il prodotto scalare standard, allora hai che i vettori $(1, 0)$ e $(1, 1)$ sono linearmente indipendenti ma non sono ortogonali.[/quote]Interessante! Davo per scontato che ortogonalità e indipendenza lineare fossero condizioni equivalenti.
"vlander":
[quote="Gold D Roger"]In seguito mi è venuto un altro dubbio: come è fatta una base ortonormale rispetto a un endomorfismo, non è una caratteristica delle forme bilineari?
Infatti, esiste la nozione di ortogonalità rispetto una forma bilineare, non rispetto endomorfismi(magari esiste pure).
"Gold D Roger":
Inoltre se una base è ortonormale rispetto a un endomorfismo non dovrebbe esserlo in automatico anche per una forma bilineare?
La base non è ortonormale rispetto all'endomorfismo. La base è composta da autovettori dell'endomorfismo ortonormali rispetto il prodotto scalare standard. Non è detto che se i vettori sono ortogonali rispetto la base standard lo siano automaticamente rispetto altre forme bilineari.[/quote]
Quindi, per avere un po' di chiarezza, devo dimostrare che la base \( O=[v',v"] \) è b-ortogonale a $b_A$, cioè
\( b(v',v')=^tv'Av'=3 \); \(b(v',v")=b(v",v')=0 \); \(b(v'',v'')=1 \)
e la matrice rappresentativa in base $ O $ di $b_A$ è \( \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), che è una matrice diagonale (simiale ad A) avente sulla diagonale principale gli autovalori dell'endomorfismo; inoltre, siccome l'indice di positività è 2, uguale all'ordine della matrice, $b_A$ è un prodotto scalare.
La prima parte ora è giusta. La base si dice $b_A$-ortogonale oppure ortogonale rispetto $b_A$. Il resto va benissimo 
Perfetto, grazie per la disponibilità!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo