Endomorfismo e diagonalizzabilità
Salve ragazzi il problema è semplice. Ho quest'endomorfismo:
$ f_h : (x,y,z) in RR^3 -> (2x-y , hx+(3-h)y +hz, y+2z) in RR^3 , h in RR $
del quale mi viene chiesto:
-> Determinare gli autovalori di $f_h$ e i valori di $h$ tali che $f_h$ sia diagonalizzabile.
Mi dà anche la risposta che è :
->Gli autovalori sono $k_1 = 2 $ e $k_2 =3-h$ .
$f_h$ è diagonalizzabile per $h=0$ .
Io con gli autovalori mi trovo. Mi trovo inoltre che l'endomorfismo non è diagonalizzabile per $h != 1$ quindi dovrei trovare i valori per cui lo sia...
Bene, come faccio ?
Cioè come faccio a capire tra tutti i possibili valori di h quale lo fa risultare diagonalizzabile? Cioè dove lo prende quel Zero ?
Avete qualche metodo/ragionamento? Aiutatemi
P.S. Grazie per l'aiuto specialmente in questo periodo <3
$ f_h : (x,y,z) in RR^3 -> (2x-y , hx+(3-h)y +hz, y+2z) in RR^3 , h in RR $
del quale mi viene chiesto:
-> Determinare gli autovalori di $f_h$ e i valori di $h$ tali che $f_h$ sia diagonalizzabile.
Mi dà anche la risposta che è :
->Gli autovalori sono $k_1 = 2 $ e $k_2 =3-h$ .
$f_h$ è diagonalizzabile per $h=0$ .
Io con gli autovalori mi trovo. Mi trovo inoltre che l'endomorfismo non è diagonalizzabile per $h != 1$ quindi dovrei trovare i valori per cui lo sia...
Bene, come faccio ?
Cioè come faccio a capire tra tutti i possibili valori di h quale lo fa risultare diagonalizzabile? Cioè dove lo prende quel Zero ? Avete qualche metodo/ragionamento? Aiutatemi
P.S. Grazie per l'aiuto specialmente in questo periodo <3
Risposte
sai cosa sono molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori?
imponi che siano uguali per ogni autovettore
ricava gli h per cui è vero
"f è diagonalizzabile se e solo se molteplicità algebrica e geometrica coincidono per ogni autovalore"
imponi che siano uguali per ogni autovettore
ricava gli h per cui è vero
"f è diagonalizzabile se e solo se molteplicità algebrica e geometrica coincidono per ogni autovalore"
Ciao, innanzi tutto grazie per la risposta!
Io comunque mi trovo che la molteplicità algebrica di $k_1 = 2 $ è proprio 2 e $k_2 = 3-h$ dovrà avere per forza m.a.= 1 perchè il polinomio caratteristico è $(2-t)^2 (3-h-t)=0$.
Quindi per trovarmi che la molteplicità geometrica deve essere uguale a 1 (sempre per il secondo autovalore) devo trovare il rango uguale a 2! Però...
$((2-3+h,-1,0),(h,3-h-3+h,h),(0,1,2-3+h))$ calcolando il rango mi si annulla l'incognita h ...
Quindi ho sbagliato qualcosa oppure devo considerarla $h=0$ ?
Io comunque mi trovo che la molteplicità algebrica di $k_1 = 2 $ è proprio 2 e $k_2 = 3-h$ dovrà avere per forza m.a.= 1 perchè il polinomio caratteristico è $(2-t)^2 (3-h-t)=0$.
Quindi per trovarmi che la molteplicità geometrica deve essere uguale a 1 (sempre per il secondo autovalore) devo trovare il rango uguale a 2! Però...
$((2-3+h,-1,0),(h,3-h-3+h,h),(0,1,2-3+h))$ calcolando il rango mi si annulla l'incognita h ...
Quindi ho sbagliato qualcosa oppure devo considerarla $h=0$ ?
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