Endomorfismo diagonslizzabile
siano a un numero reale ed ƒ: R^3 in R^3 un'applicazione tale che
$f ((1),(1),(1))=((0),(1),(1))$
$f ((0),(1),(1))=((-1),(-1),(-1))$
$f ((2),(2),(0))=f ((a),(4),(3))$
$f ((1),(2),(3))=((0),(0),(0))$
Supposto che ƒ sia endomorfismo di R^3, determinare a e dire se ƒ è diagonalizzabile
come faccio a determinare a??
graditissima spiegazione grazie in anticipo
$f ((1),(1),(1))=((0),(1),(1))$
$f ((0),(1),(1))=((-1),(-1),(-1))$
$f ((2),(2),(0))=f ((a),(4),(3))$
$f ((1),(2),(3))=((0),(0),(0))$
Supposto che ƒ sia endomorfismo di R^3, determinare a e dire se ƒ è diagonalizzabile
come faccio a determinare a??
graditissima spiegazione grazie in anticipo
Risposte
I vettori \(\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} ,\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} \) sono linearmente indipendenti (puoi verificarlo da te) .Pertanto,poichè di essi si conoscono le corrispondenti immagini,per un noto teorema l'endoformismo esiste ed è unico.Per determinarlo algebricamente si deve esprimere il generico vettore di \(\displaystyle \mathbb{R^3} \) in funzione di quelli dati.Precisamente poniamo:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=a \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} + b \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+ c \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\)
facendo i soliti calcoli si trova che :
\(\displaystyle a=x+y-z,b=-x+2y-z,c=z-y \) e quindi si ha:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= (x+y-z) \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} + (-x+2y-z) \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+ (z-y) \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} \)
Passando alle immagini abbiamo:
\(\displaystyle f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=(x+y-z) \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} + (-x+2y-z) \begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\end{pmatrix}+ (z-y) \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-2y+z\\2x-y\\2x-y \end{pmatrix}\)
Il resto dell'esercizio lo puoi fare da solo.Ti dico soltanto che ,se non ho fatto errori,f non è diagonalizzabile e risulta \(\displaystyle a=3 \)
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=a \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} + b \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+ c \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\)
facendo i soliti calcoli si trova che :
\(\displaystyle a=x+y-z,b=-x+2y-z,c=z-y \) e quindi si ha:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= (x+y-z) \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} + (-x+2y-z) \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+ (z-y) \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} \)
Passando alle immagini abbiamo:
\(\displaystyle f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=(x+y-z) \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} + (-x+2y-z) \begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\end{pmatrix}+ (z-y) \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-2y+z\\2x-y\\2x-y \end{pmatrix}\)
Il resto dell'esercizio lo puoi fare da solo.Ti dico soltanto che ,se non ho fatto errori,f non è diagonalizzabile e risulta \(\displaystyle a=3 \)
grazie mille per la risposta chiarissima...
completo l'esercizio sia per verifica sia nel caso servisse a qualche altro utente
trovo la matrice associata
$A=((1,-2,1),(2,-1,0),(2,-1,0))$
per trovare il parametro $a$ moltiplico la matrice per il vettore colonna
$((1,-2,1),(2,-1,0),(2,-1,0))*((a),(4),(3))=((2),(2),(0))$
risolvo il sistema è trovo $a=3$
verifico che $f$ sia diagonalizzabile
$det(A-k*I)=-k(k^2+1)$
visto che non tutte le soluzioni sono reali la matrice non è diagonilizzabile
vittorino70 grazie mille
Ps mi scuso per il linguaggio poco matematico
completo l'esercizio sia per verifica sia nel caso servisse a qualche altro utente
trovo la matrice associata
$A=((1,-2,1),(2,-1,0),(2,-1,0))$
per trovare il parametro $a$ moltiplico la matrice per il vettore colonna
$((1,-2,1),(2,-1,0),(2,-1,0))*((a),(4),(3))=((2),(2),(0))$
risolvo il sistema è trovo $a=3$
verifico che $f$ sia diagonalizzabile
$det(A-k*I)=-k(k^2+1)$
visto che non tutte le soluzioni sono reali la matrice non è diagonilizzabile
vittorino70 grazie mille
Ps mi scuso per il linguaggio poco matematico
Sulla non diagonalizzabilità ci siamo ma sulla ricerca del parametro a devi fare una correzione.Da quello che tu stesso hai scritto devi imporre la condizione :
\(\displaystyle f(a,4,3))=f(2,2,0)=(-2,2,2) \) e non \( \displaystyle f(a,4,3))=(2,2,0) \)
altrimenti non viene \(\displaystyle a=3 \)
\(\displaystyle f(a,4,3))=f(2,2,0)=(-2,2,2) \) e non \( \displaystyle f(a,4,3))=(2,2,0) \)
altrimenti non viene \(\displaystyle a=3 \)
$((1,-2,1),(2,-1,0),(2,-1,0))*((a),(4),(3))=((2),(2),(0))*((1,-2,1),(2,-1,0),(2,-1,0))$
scusa una svista mi ero dimenticato di moltiplicate la matrice anche per l'altro vettore colonna. Così dovrebbe andare...Grazie per la precisazione
scusa una svista mi ero dimenticato di moltiplicate la matrice anche per l'altro vettore colonna. Così dovrebbe andare...Grazie per la precisazione
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