Endomorfismo diagonalizzabole con parametro
Un esercizio mi chiede per quali valori di k f sia invertibile e determinare negli altri casi il nucleo e l'immagine di f.
Ecco f.
$(x,y,z)->(-x+y+(k-1)z,-(ky-z),ky + z)$, (K appartentente ai reali)
e mi dice anche per quali valori di k f risulta diagonalizzabile e per tali valori diagonalizzare k.
Allora ho proceduto in questo modo.
1) Mi trovo la matrice associata delle immagini della base canonica di f, ovvero:
$f(1,0,0)->(-1,0,0)$
$f(0,1,0)->(1,-k,k)$
$f(0,0,1)->(k-1,-1,1)$
Quindi la matrice A sarà
$A=((-1,1,k-1),(0,-k,-1),(0,k,1))$
Praticamente r(a)<3 per ogni K appartente ai reali.
Quindi (presumo) che non sia invertibile per nessun K appartenente ai reali dato che deve avere rango massimo per essere invertita f (non sono sicuro di questa cosa, correggetemi se sbaglio).
Comunque mi calcolo il polinomio caratteristico, quindi la mia matrice diventa :
$p(lambda)=det(A-I3lambda)=((-1-lambda,1,k-1),(0,-k-lambda,-1),(0,k,1-lambda))$
cioè:
$(-1-lambda)[(-k-lambda)(1-lambda)+k]=$
$=(-1-lambda)[-k +klambda-lambda+lambda^2+k]=$
$(-1-lambda)[(lambda)(lambda+k-1)]=$
Il polinomio caratteristico si annulla per:
$lambda1=-1$
$lambda2=0$
$lambda3=-k+1$
Quindi $k=-lambda+1$
Ottengo 2 autospazi.
L'autospazio V(-1)
$lambda=-1$ e quindi $k=2$
$V(-1)=((0,1,1),(0,-1,-1),(0,2,2))$
Mi calcolo il nucleo di V(-1):
$(1,0,0),(0,1,-1)$
Analogamente procedo per V(0)
quindi essendo $lambda=0$ allora $k=1$
$V(0)=((-1,1,0),(0,-1,1),(0,1,1))$
e il nucleo di V(0) che è $(1,1,-1)$
Quindi a questo punto ho la matrice P.
$P=((1,0,1),(0,1,-1),(1,1,-1))$
Per ottenere la matrice diagonalizzata
$P^(-1)AP=A'$
Ma essendo il determinante di P=0 non posso diagonalizzare. Dove sbaglio ? Chi mi aiuta ? Grazie.
Ecco f.
$(x,y,z)->(-x+y+(k-1)z,-(ky-z),ky + z)$, (K appartentente ai reali)
e mi dice anche per quali valori di k f risulta diagonalizzabile e per tali valori diagonalizzare k.
Allora ho proceduto in questo modo.
1) Mi trovo la matrice associata delle immagini della base canonica di f, ovvero:
$f(1,0,0)->(-1,0,0)$
$f(0,1,0)->(1,-k,k)$
$f(0,0,1)->(k-1,-1,1)$
Quindi la matrice A sarà
$A=((-1,1,k-1),(0,-k,-1),(0,k,1))$
Praticamente r(a)<3 per ogni K appartente ai reali.
Quindi (presumo) che non sia invertibile per nessun K appartenente ai reali dato che deve avere rango massimo per essere invertita f (non sono sicuro di questa cosa, correggetemi se sbaglio).
Comunque mi calcolo il polinomio caratteristico, quindi la mia matrice diventa :
$p(lambda)=det(A-I3lambda)=((-1-lambda,1,k-1),(0,-k-lambda,-1),(0,k,1-lambda))$
cioè:
$(-1-lambda)[(-k-lambda)(1-lambda)+k]=$
$=(-1-lambda)[-k +klambda-lambda+lambda^2+k]=$
$(-1-lambda)[(lambda)(lambda+k-1)]=$
Il polinomio caratteristico si annulla per:
$lambda1=-1$
$lambda2=0$
$lambda3=-k+1$
Quindi $k=-lambda+1$
Ottengo 2 autospazi.
L'autospazio V(-1)
$lambda=-1$ e quindi $k=2$
$V(-1)=((0,1,1),(0,-1,-1),(0,2,2))$
Mi calcolo il nucleo di V(-1):
$(1,0,0),(0,1,-1)$
Analogamente procedo per V(0)
quindi essendo $lambda=0$ allora $k=1$
$V(0)=((-1,1,0),(0,-1,1),(0,1,1))$
e il nucleo di V(0) che è $(1,1,-1)$
Quindi a questo punto ho la matrice P.
$P=((1,0,1),(0,1,-1),(1,1,-1))$
Per ottenere la matrice diagonalizzata
$P^(-1)AP=A'$
Ma essendo il determinante di P=0 non posso diagonalizzare. Dove sbaglio ? Chi mi aiuta ? Grazie.
Risposte
"pitrineddu90":
Quindi (presumo) che non sia invertibile per nessun K appartenente ai reali dato che deve avere rango massimo per essere invertita f (non sono sicuro di questa cosa, correggetemi se sbaglio).
Ok, questo è vero.
"pitrineddu90":
[...]
$\lambda1=-1$
$\lambda2=0$
$\lambda3=-k+1$
Quindi $ k=-\lambda + 1 $
Perchè? Semplicemente hai che $\lambda_3$ dipende dal parametro $k$.
A questo punto osservi che se $ k \ne 2 $ e $ k \ne 1 $ i tre autovalori sono tutti distinti e quindi sicuramente puoi diagonalizzare la matrice. Gli unici punti da controllare sono $k = 2$ e $k = 1$, per cui hai due autovalori coincidenti e dovrai verificare che la dimensione dell'autospazio relativo a quell'autovalore coincida con la molteplicità algebrica (in questo caso 2).
"pitrineddu90":
Ma essendo il determinante di P=0 non posso diagonalizzare. Dove sbaglio ?
Il determinante non centra con la diagonalizzabilità! Condizione necessaria e sufficiente è che la molteplicità algebrica di ogni autovalore coincida con la sua molteplicità geometrica.
E quindi come faccio a diagonalizzare arrivato a questo punto ?
Per $k\ne2$ e $k\ne1$ hai già trovato gli autovalori, che sono $\lambda_1 = -1$, $\lambda_2=0$, $\lambda_3=-k+1$. Adesso trova i tre autovettori corrispondenti (che dipenderanno dal parametro $k$). Costruisci P mettendo sulle colonne gli autovettori e A' mettendo sulla diagonale gli autovalori. Hai che $P^{-1}AP = A'$. Occhio a mettere nello stesso ordine gli autovettori in $P$ e gli autovalori in $A'$.
Poi per $k=1$ o $k=2$, dopo che hai verificato che $A$ è diagonalizzabile, procedi sostanzialmente allo stesso modo, solo che l'autovalore $0$ (o $-1$) dovrai scriverlo due volte sulla diagonale di $A'$, e in corrispondenza in $P$ dovrai mettere i due autovettori che sono i generatori del relativo autospazio.
Poi per $k=1$ o $k=2$, dopo che hai verificato che $A$ è diagonalizzabile, procedi sostanzialmente allo stesso modo, solo che l'autovalore $0$ (o $-1$) dovrai scriverlo due volte sulla diagonale di $A'$, e in corrispondenza in $P$ dovrai mettere i due autovettori che sono i generatori del relativo autospazio.
Quindi in pratica una volta sostituisco a k il valore -2 e una volta sostituisco il valore 1. Ottengo 2 matrici e vedo se per questi valori di k posso diagonalizzare. In pratica ho capito questo da quello che hai detto. Giusto ?
Sì. E poi invece per tutti gli altri valori di $k$ sai che di sicuro puoi diagonalizzare la matrice e lo fai tirandoti dietro il parametro $k$...
Ok! Grazie mi sei stato davvero d'aiuto! 
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