Endomorfismo diagonalizzabile. Parametro reale utile o meno?
Buongiorno, stamattina svolgevo questo esercizio:
Sia $f_h$ un endomorfismo del tipo $f_h(x,y,z) = (x,hx+y-4z,x-z)
Determinare il valore $h in RR$ tale che l'endomorfismo sia diagonalizzabile.
Quindi si procede come al solito:
Mi trovo una matrice rappresentativa dell'endomorfismo rispetto alla base canonica $B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ che risulta:
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( h , 1 , -4 ),( 1 , 0 , -1 ) ) $
Procedo con il calcolo del "polinomio caratteristico" e mi trovo di fronte ad una matrice del tipo:
$ ( ( 1-t , 0 , 0 ),( h , 1-t , -4 ),( 1 , 0 , -1-t ) ) $
(vi prego di non far caso ai pochi formalismi poiché vado di fretta).
Ora, trovo il determinante di questa matrice. Ho provato con Laplace, con Sarrus e con la riduzione a gradini, in ogni caso l' $h$ in questione non rientra nei calcoli, ovvero nessun autovalore risulta uguale ad h.
Quindi la mia domanda è questa, ho fatto qualche errore oppure è possibile che $h$ non influenzi la diagonalizzabilità dell'endomorfismo e dunque qualsiasi valore scelto andrà bene ai fini della dimostrazione?
Grazie
Sia $f_h$ un endomorfismo del tipo $f_h(x,y,z) = (x,hx+y-4z,x-z)
Determinare il valore $h in RR$ tale che l'endomorfismo sia diagonalizzabile.
Quindi si procede come al solito:
Mi trovo una matrice rappresentativa dell'endomorfismo rispetto alla base canonica $B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ che risulta:
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( h , 1 , -4 ),( 1 , 0 , -1 ) ) $
Procedo con il calcolo del "polinomio caratteristico" e mi trovo di fronte ad una matrice del tipo:
$ ( ( 1-t , 0 , 0 ),( h , 1-t , -4 ),( 1 , 0 , -1-t ) ) $
(vi prego di non far caso ai pochi formalismi poiché vado di fretta).
Ora, trovo il determinante di questa matrice. Ho provato con Laplace, con Sarrus e con la riduzione a gradini, in ogni caso l' $h$ in questione non rientra nei calcoli, ovvero nessun autovalore risulta uguale ad h.
Quindi la mia domanda è questa, ho fatto qualche errore oppure è possibile che $h$ non influenzi la diagonalizzabilità dell'endomorfismo e dunque qualsiasi valore scelto andrà bene ai fini della dimostrazione?
Grazie
Risposte
è difficile capire come si fa un esercizio così al volo, solo guardandolo.
è vero che il polinomio caratteristico non dipende da $h$, ma non è vero che la diagonalizzabilità della matrice è indipendente da $h$.
per ora è giusto ciò che hai fatto, vai avanti e vedrai!
P.S. si vede al volo che il determinante è il prodotto dei termini sulla diagonale, senza troppi tentativi!
è vero che il polinomio caratteristico non dipende da $h$, ma non è vero che la diagonalizzabilità della matrice è indipendente da $h$.
per ora è giusto ciò che hai fatto, vai avanti e vedrai!
P.S. si vede al volo che il determinante è il prodotto dei termini sulla diagonale, senza troppi tentativi!
"blackbishop13":
è difficile capire come si fa un esercizio così al volo, solo guardandolo.
è vero che il polinomio caratteristico non dipende da $h$, ma non è vero che la diagonalizzabilità della matrice è indipendente da $h$.
per ora è giusto ciò che hai fatto, vai avanti e vedrai!
P.S. si vede al volo che il determinante è il prodotto dei termini sulla diagonale, senza troppi tentativi!
Si, ma io senza tentativi non so andare avanti. Ad ogni modo, non saprei come risolverlo, poiché quando trovo gli autovalori, h non mi serve più...
Trova gli autovalori e cerca gli autospazi. Nella determinazione di questi ultimi, al variare di $h$ cosa succede?
"mistake89":
Trova gli autovalori e cerca gli autospazi. Nella determinazione di questi ultimi, al variare di $h$ cosa succede?
Quindi, in conclusione, poco importa se lo studio viene effettuato al variare degli autovalori, va bene anche quando vengono cercati gli autospazi?
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