Endomorfismo diagonalizzabile
Ragazzi qualcuno mi può spiegare questa dimostrazione:
Siano V uno spazio vettoriale di dimensione n, f $in$ End(V) e P($\lambda$) il polinomio caratteristico di f. Allora f è diagonalizzabile se e solo se sono verificate le due seguenti proprietà:
1- tutti gli autovalori di f sono reali;
2- per ogni autovalore di f si ha mg=ma
Siano V uno spazio vettoriale di dimensione n, f $in$ End(V) e P($\lambda$) il polinomio caratteristico di f. Allora f è diagonalizzabile se e solo se sono verificate le due seguenti proprietà:
1- tutti gli autovalori di f sono reali;
2- per ogni autovalore di f si ha mg=ma
Risposte
$mg=ma$ credo significhi molteplicità algebrica e molteplicità geometrica coincidono vero?
prima di proporti una dimostrazione, ti chiedo:
conosci questa proposizione: $f$ è diagonalizzabile $hArr$ $dim(V_(lambda_1))+...+dim(V_(lambda_k))=n=dim(V)$
prima di proporti una dimostrazione, ti chiedo:
conosci questa proposizione: $f$ è diagonalizzabile $hArr$ $dim(V_(lambda_1))+...+dim(V_(lambda_k))=n=dim(V)$
Allora ma ed mg significano, come hai detto tu giustamente, molteplicità algebrica e geometrica. Io so che una endomorfismo è diagonalizzabile se esiste una base dello spazio vettoriale V formata da autovettori dell'endomorfismo stesso.
Allora la tua condizione è un sse.
Allora da ciò che hai detto puoi far scaturire la proposizione che ti ho enunciato, se non riesci a dimostrarlo, chiedi che ti scrivo la dimostrazione.
Comunque per ciò che chiedi tu è in realtà abbastanza semplice.
Per la proposizione che ti ho detto prima, poichè $f$ è diag abbiamo che $n=dim(V_(lambda_1))+...+dim(V_(lambda_k))<=h(lambda_1)+...+h(lambda_k)<=n$
segue quindi che $h(lambda_1)+...+h(lambda_k)=n=dim(V)$, (2)ovvero che il polinomio caratteristico è interamente scomponibile in $V$
Inoltre sottraendo $n=dim(V_(lambda_1))+...+dim(V_(lambda_k))$ da (2) si ottiene $0=(dim(V_(lambda_1))-h(lambda_1))+...+(dim(V_(lambda_k))-h(lambda_k))$
Abbiamo quindi una differenza tra $2$ termini strettamente positivi perciò l'unica possibilità è che $AAi=1...k$ $dim(V_(lambda_i)=h((lambda_i))$
D'altra parte
$h(lambda_1)+...+h(lambda_k)=n$ ma poiché $dim(V_(lambda_i))=h(lambda_i)$ per ogni $i=1...k$
allora $dim(V_(lambda_1))+...+dim(V_(lambda_k))=n$ da ciò, per quanto ti ho detto prima, segue che $f$ è diag.
e l'asserto è completamente provato
Allora da ciò che hai detto puoi far scaturire la proposizione che ti ho enunciato, se non riesci a dimostrarlo, chiedi che ti scrivo la dimostrazione.
Comunque per ciò che chiedi tu è in realtà abbastanza semplice.
Per la proposizione che ti ho detto prima, poichè $f$ è diag abbiamo che $n=dim(V_(lambda_1))+...+dim(V_(lambda_k))<=h(lambda_1)+...+h(lambda_k)<=n$
segue quindi che $h(lambda_1)+...+h(lambda_k)=n=dim(V)$, (2)ovvero che il polinomio caratteristico è interamente scomponibile in $V$
Inoltre sottraendo $n=dim(V_(lambda_1))+...+dim(V_(lambda_k))$ da (2) si ottiene $0=(dim(V_(lambda_1))-h(lambda_1))+...+(dim(V_(lambda_k))-h(lambda_k))$
Abbiamo quindi una differenza tra $2$ termini strettamente positivi perciò l'unica possibilità è che $AAi=1...k$ $dim(V_(lambda_i)=h((lambda_i))$
D'altra parte
$h(lambda_1)+...+h(lambda_k)=n$ ma poiché $dim(V_(lambda_i))=h(lambda_i)$ per ogni $i=1...k$
allora $dim(V_(lambda_1))+...+dim(V_(lambda_k))=n$ da ciò, per quanto ti ho detto prima, segue che $f$ è diag.
e l'asserto è completamente provato
Scusa se ti rispondo solo ora ma ho avuto dei problemi, nascita di una nipote e quindi impegni vari. Comunque grazie per la spiegazione. Sono riuscito poi a trovare nel libro la definizione che davi tu e che mi era ignota. Ascolta vorrei chiederti, visto che sei stato gentile, due cose:
1) come faccio a vedere se date tre matrici queste sono linearmente indipendenti? Basta prendere una combinazione di esse e porle uguali alla matrice nulla e determinare poi i valori dei coefficienti o c'è un altro metodo?
2) se io ho un endomorfismo e la sua relativa matrice come faccio, in maniera pratica, a sapere se sono diagonalizzabili l'endomorfismo o la matrice?
1) come faccio a vedere se date tre matrici queste sono linearmente indipendenti? Basta prendere una combinazione di esse e porle uguali alla matrice nulla e determinare poi i valori dei coefficienti o c'è un altro metodo?
2) se io ho un endomorfismo e la sua relativa matrice come faccio, in maniera pratica, a sapere se sono diagonalizzabili l'endomorfismo o la matrice?
1) sì quel metodo va bene...
2) Calcolati il polinomio caratteristi della matrice a cui è associato l'endomorfismo.
Ovvero $|A-lambdaI_n|=0$ e vedi se questo è interamente scomponibile. Se lo è calcolati le radici, quelli sono gli autovalori. Se la loro molteplicità algebrica è $1$ allora è diagonalizzabile, se qualcuno ha molteplicità algebrica $>1$ devi calcolarti la relativa molteplicità geometrica (ovvero la dimensione del relativo autospazio) se queste coincidono allora è diagonalizzabile.
NB che le due molteplicità devono coincidere per ogni autovalore...
Ciao e auguri per la nuova nascita!
2) Calcolati il polinomio caratteristi della matrice a cui è associato l'endomorfismo.
Ovvero $|A-lambdaI_n|=0$ e vedi se questo è interamente scomponibile. Se lo è calcolati le radici, quelli sono gli autovalori. Se la loro molteplicità algebrica è $1$ allora è diagonalizzabile, se qualcuno ha molteplicità algebrica $>1$ devi calcolarti la relativa molteplicità geometrica (ovvero la dimensione del relativo autospazio) se queste coincidono allora è diagonalizzabile.
NB che le due molteplicità devono coincidere per ogni autovalore...
Ciao e auguri per la nuova nascita!
ok sei stato chiarissimo, in pratica devo mettere in pratica la definizione che mi hai dato tu grosso modo. Dato che ci sono un ultima, anche se forse non finiscono mai, domanda:
se il testo di un esercizio mi dice: dato l'insieme B, verifica se esso è una base dello spazio vettoriale. Ora io so che affinchè sia una base B deve essere linearmente indipendente e lo calcolo con il determinante diverso da zero, ma deve essere anche un sistema di generatori. Tradotto in maniera pratica, il fatto che sia un sistema di generatori come lo rendo? Per me è quasi scontato che sia un sistema di generatori, visto il fatto che sono linearmente indipendenti io potrei ottenere qualsiasi altro vettore come combinazione di quelli che costituiscono la base o no?
Grazie per gli auguri
se il testo di un esercizio mi dice: dato l'insieme B, verifica se esso è una base dello spazio vettoriale. Ora io so che affinchè sia una base B deve essere linearmente indipendente e lo calcolo con il determinante diverso da zero, ma deve essere anche un sistema di generatori. Tradotto in maniera pratica, il fatto che sia un sistema di generatori come lo rendo? Per me è quasi scontato che sia un sistema di generatori, visto il fatto che sono linearmente indipendenti io potrei ottenere qualsiasi altro vettore come combinazione di quelli che costituiscono la base o no?
Grazie per gli auguri
No. Pensa ad $RR^3$ e prendi i vettori $(1,0,0),(0,0,1)$ essi sono linearmente indipendenti ma non mi pare che generino $RR^3$
Prendi un generico vettore di $V$ e lo decomponi rispetto ai vettori candidati ad essere base. Se esistono allora genera $V$.
In realtà se hai una spazio di dimensione $n$. Qualsiasi insieme libero di $n$ vettori è base, e non hai bisogno di dimostrare altro. Ma devono essere esattamente $n$
Prendi un generico vettore di $V$ e lo decomponi rispetto ai vettori candidati ad essere base. Se esistono allora genera $V$.
In realtà se hai una spazio di dimensione $n$. Qualsiasi insieme libero di $n$ vettori è base, e non hai bisogno di dimostrare altro. Ma devono essere esattamente $n$
si beh certo. Mi hai schiarito le idee in vista dell'esame per la settimana prossima. E' un po' un rebus, tante definizioni, paura di sbagliare calcoli. Domani sono alle prese con esercizi sulle forme bilineari e sullo spazio vettoriale euclideo. Spero di riuscire a farli. Grazie ancora.
di niente!
Mistake89 scusa se ti disturbo ancora, ma per non aprire un altra discussione, continuo a scrivere qui. Ascolta sto facendo esercizi e mi servirebbe da te una risposta affermativa o meno:
allora io ho due matrici $((0,1,1),(0,0,1),(1,0,0))$ e $((1,1,0),(0,1,0),(0,0,1))$ e l'esercizio mi chiede se possono essere associate alla stessa forma bilineare. Secondo me no perchè sono associate a due diverse forme bilineari. Se me le vado a ricavare ottengo:
$\phi(x,y)=x_1y_2+x_1y_3+x_2y_3+x_3y_1$ relativamente alla prima matrice e $\phi(x,y)=x_1y_1+x_1y_2+x_2y_2+x_3y_3$ relativa alla seconda. E' giusta la mia risposta nel dire, dopo essermele ricavate, che sono due forme bilineari diverse e quindi sono diverse le relative matrici associate?
La seconda domanda è questa:
ho le matrici $((0,1,-1),(1,0,0),(-1,0,0))$ , $((-2,0,-1),(0,1,-3),(-1,-3,1))$, $((0,-1,-2),(1,0,-1),(2,1,0))$ mi dice di trovare le relative forme bilineari e di trovare la forma quadratica associata a quelle simmetriche. Ma di queste tre neanche una è simmetrica o sbaglio? (questa è solo una curiosità non si sa mai che mi sia sfuggito qualcosa). La domanda vera e propria è se sono diagonalizzabili la prima e la terza. Io ho fatto i calcoli, seguendo quello che mi hai detto tu e secondo me sono diagonalizzabili la prima, in base agli autospazi relaviti ai tre autovalori che sono $-sqrt2$ , $sqrt2$ , $0$ ; mentre la terza mi da come autovalore solo $0$ e l'autospazio relativo ha dimensione 2 se non sbaglio, per cui direi che non è diagonalizzabile. Giusto o no?
allora io ho due matrici $((0,1,1),(0,0,1),(1,0,0))$ e $((1,1,0),(0,1,0),(0,0,1))$ e l'esercizio mi chiede se possono essere associate alla stessa forma bilineare. Secondo me no perchè sono associate a due diverse forme bilineari. Se me le vado a ricavare ottengo:
$\phi(x,y)=x_1y_2+x_1y_3+x_2y_3+x_3y_1$ relativamente alla prima matrice e $\phi(x,y)=x_1y_1+x_1y_2+x_2y_2+x_3y_3$ relativa alla seconda. E' giusta la mia risposta nel dire, dopo essermele ricavate, che sono due forme bilineari diverse e quindi sono diverse le relative matrici associate?
La seconda domanda è questa:
ho le matrici $((0,1,-1),(1,0,0),(-1,0,0))$ , $((-2,0,-1),(0,1,-3),(-1,-3,1))$, $((0,-1,-2),(1,0,-1),(2,1,0))$ mi dice di trovare le relative forme bilineari e di trovare la forma quadratica associata a quelle simmetriche. Ma di queste tre neanche una è simmetrica o sbaglio? (questa è solo una curiosità non si sa mai che mi sia sfuggito qualcosa). La domanda vera e propria è se sono diagonalizzabili la prima e la terza. Io ho fatto i calcoli, seguendo quello che mi hai detto tu e secondo me sono diagonalizzabili la prima, in base agli autospazi relaviti ai tre autovalori che sono $-sqrt2$ , $sqrt2$ , $0$ ; mentre la terza mi da come autovalore solo $0$ e l'autospazio relativo ha dimensione 2 se non sbaglio, per cui direi che non è diagonalizzabile. Giusto o no?
Ciao, purtroppo adesso non ho tempo di controllare l'esercizio 2...
però per la domanda 1, devi sapere che due matrice rappresentano la stessa forma bilineare se sono congruenti. Ovvere $A~BhArrB=^tCAC$ ove $CinGL(n,K)$
però per la domanda 1, devi sapere che due matrice rappresentano la stessa forma bilineare se sono congruenti. Ovvere $A~BhArrB=^tCAC$ ove $CinGL(n,K)$
ah capito..allora mi dovrei trovare la matrice $C$ che soddisfi la relazione che mi hai scritto tu. Grazie ancora.
2) Calcolati il polinomio caratteristi della matrice a cui è associato l'endomorfismo.
Ovvero |A−λIn|=0 e vedi se questo è interamente scomponibile. Se lo è calcolati le radici, quelli sono gli autovalori. Se la loro molteplicità algebrica è 1 allora è diagonalizzabile, se qualcuno ha molteplicità algebrica >1 devi calcolarti la relativa molteplicità geometrica (ovvero la dimensione del relativo autospazio) se queste coincidono allora è diagonalizzabile.
NB che le due molteplicità devono coincidere per ogni autovalore...
Mistake 89 potrei chiederti di darmi la dimostrazione di questo secondo punto grazie
Ovvero |A−λIn|=0 e vedi se questo è interamente scomponibile. Se lo è calcolati le radici, quelli sono gli autovalori. Se la loro molteplicità algebrica è 1 allora è diagonalizzabile, se qualcuno ha molteplicità algebrica >1 devi calcolarti la relativa molteplicità geometrica (ovvero la dimensione del relativo autospazio) se queste coincidono allora è diagonalizzabile.
NB che le due molteplicità devono coincidere per ogni autovalore...
Mistake 89 potrei chiederti di darmi la dimostrazione di questo secondo punto grazie
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