Endomorfismo diagonalizzabile

[lisacassidy]

Buongiorno a tutti!
Ho f che è endomorfismo di R3 ed è canonicamente associato alla seguente matrice:

$ A=( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $

e devo dire se è diagonalizzabile.

Io l'ho pensata in questo modo:

E' una matrice simmetrica, quindi è diagonalizzabile.

Può andare come ragionamento?

[Vicia]

Si, se la matrice è simmetrica essa è diagonalizzabile. Però se ti posso dare un consiglio, tu verificalo sempre. Le condizioni di diagonalizzabilità sono
$p(\lamda)$ deve essere interamente decomponibile
La molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica devono coincidere
Deve esistere un'autobase ovvero una base di autovettori
La dimensione dell'autospazio deve coincidere con la molteplicità geometrica
E deve essere verificato che $D=P^(-1)AP$

[cooper1]

"Vicia":p(λ) deve essere interamente decomponibile
La molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica devono coincidere
Deve esistere un'autobase ovvero una base di autovettori
La dimensione dell'autospazio deve coincidere con la molteplicità geometrica
E deve essere verificato che D=P−1AP

non è necessario controllare tutte queste condizioni. basta che il polinomio caratteristico sia decomponibile nel campo in cui lavori, che le due molteplicità coincidano e che la somma delle molteplicità geometriche sia pari alla dimensione dello spazio vettoriale.
se hai queste hai garantito che esiste la matrice P che diagonalizza e che esiste una base di autovettori.
un altro commento se posso....

"eleonoraponti":E' una matrice simmetrica, quindi è diagonalizzabile.

il testo qui chiede se l'endomorfismo è diagonalizzabile. un endomorfismo è però simmetrico se rispetto ad una base ortonormale (come in questo caso la canonica) la matrice associata è simmetrica.