Endomorfismo di matrici

[paolabile]

Trovare nucleo, immagine, e diagonalizzare (quindi trovare la matrice diagonale) il seguente endomorfismo:
f : M2 (R) -> M2(R)

$ ( ( a , b ),( c , d ) ) rarr ( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) ) ( ( a , b ),( c , d ) ) $

Quando si tratta di matrici mi confondo.. non riesco proprio a fare questo esercizio.. qualcuno potrebbe svolgerlo con i passaggi così da farmi capire come procedere quando ho di fronte questa tipologia di esercizio? Grazie a tutti anticipatamente

[Sk_Anonymous]

"polloncombinaguai":Quando si tratta di matrici mi confondo..

Ciao.

Se il problema riguarda soltanto il fatto che l'endomorfismo $f$ è definito tra spazi di matrici, si può tener presente il fatto che lo spazio delle matrici $M(m xx n;RR)$ è isomorfo a $RR^(m*n)$, quindi $M_2(RR)$ è isomorfo a $RR^4$; allora è come se $f$ fosse definita in questo modo:

$f in End(RR^4)$ con $f(a,b,c,d)=(a+c,b+d,a+c,b+d)$

poichè vale

$((1,1),(1,1))((a,b),(c,d))=((a+c,b+d),(a+c,b+d))$

Saluti.

[paolabile]

si fino a qui c'ero arrivata e ho calcolato anche nucleo e immagine.. ora il mio dubbio sorge nel momento in cui devo diagonalizzare l'endomorfismo.. come devo scrivere la matrice A per poi calcolarmi il polinomio caratteristico?

[Sk_Anonymous]

"polloncombinaguai":...come devo scrivere la matrice A per poi calcolarmi il polinomio caratteristico?

Avendo

$A=((a+c,b+d),(a+c,b+d))$

si deve porre

$|A-lambdaI|=0 Rightarrow |(a+c-lambda,b+d),(a+c,b+d-lambda)|=0$

Svolgendo i conti, si ottiene

$lambda[lambda-(a+b+c+d)]=0$

da cui si ricavano i seguenti due autovalori

$lambda_1=0$ e $lambda_2=a+b+c+d$.

Saluti.

[paolabile]

Io pensavo di calcolare le f(1,0,0,0), f(0100) f(0010) e f(0001) e poi metterle in un'unica matrice A che mi verrebbe così:
$ ( ( 1-lambda , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1-lambda , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 1-lambda , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 1-lambda ) ) $

e svolgendo i calcoli verrebbero 3 autovalori=-1,+1,0.. E' sbagliato?

[Sk_Anonymous]

Scusami, nel mio post precedente avevo sbagliato: mi ero scordato della parte preliminare del problema.

La matrice associata all'endomorfismo in $RR^4$ è

$A=((1,0,1,0),(0,1,0,1),(1,0,1,0),(0,1,0,1))$

quindi bisogna risolvere

$|(1-lambda,0,1,0),(0,1-lambda,0,1),(1,0,1-lambda,0),(0,1,0,1-lambda)|=0$

inerente alla matrice che evidenziavi tu.

Gli autovalori che mi risultano sono quattro, a due a due coincidenti:

$lambda_{1,2}=0$ e $lambda_{3,4}=2$.

Calcoli (v. testo nascosto)

$P(lambda)=|(1-lambda,0,1,0),(0,1-lambda,0,1),(1,0,1-lambda,0),(0,1,0,1-lambda)|=(1-lambda)|(1-lambda,0,1),(0,1-lambda,0),(1,0,1-lambda)|+|(0,1-lambda,1),(1,0,0),(0,1,1-lambda)|$

cioè

$P(lambda)=(1-lambda)^2|(1-lambda,1),(1,1-lambda)|+(-1)|(1-lambda,1),(1,1-lambda)|$

$P(lambda)=(1-lambda)^2[(1-lambda)^2-1]-[(1-lambda)^2-1]=[(1-lambda)^2-1]*[(1-lambda)^2-1]$

$P(lambda)=[(1-lambda)^2-1]^2=[1-lambda-1]^2*[1-lambda+1]^2=lambda^2(2-lambda)^2$

quindi

$P(lambda)=0 Rightarrow lambda_{1,2}=0 text( e ) lambda_{3,4}=2$

Rinnovo le mie scuse per il mio errore nel mio post precedente.

Saluti.