Endomorfismo definito da una matrice

[sanjoe_pro]

Salve,
sto avendo problemi con questo esercizio:
Si consideri l'endomorfismo f definito (rispetto alla base canonica) dalla seguente matrice:
M=$((1,1,3),(1,-1,1),(2,3,7))$
si stabilisca quali delle seguenti affermazioni è verificata:
A) f è diagonalizzabile;
B) f è ingettiva;
C) f è surgettiva;
D) (2,1,5) $in$ Im f
grazie in anticipo

[Pierlu11]

La prima cosa che farei è calcolare il rango della matrice per avere informazioni sull'immagine:
poiché $ detM=0 $ possiamo escludere le opzioni B) e C) poiché il nucleo dell'endomorfismo non è costituito dal solo vettore nullo e di conseguenza l'immagine non coincide con l'intero spazio vettoriale d'arrivo.
Infine, risolvendo il sistema $ ( ( 1 , 1 , 3 ),( 1 , -1 , 1 ),( 2 , 3 , 7 ) ) ( ( x ),( y ),( z ) )=( ( 2 ),( 1 ),( 5 ) ) $, puoi concludere se il vettore del punto D) appartiene (se il sistema ha soluzione/i) o non appartiene (se il sistema è impossibile) all'immagine.

[sanjoe_pro]

ciao, grazie della risposta .. potresti essere più preciso?

[Pierlu11]

Più preciso riguardo cosa?

[sanjoe_pro]

"Pierlu11":La prima cosa che farei è calcolare il rango della matrice per avere informazioni sull'immagine:
poiché $ detM=0 $ possiamo escludere le opzioni B) e C) poiché il nucleo dell'endomorfismo non è costituito dal solo vettore nullo e di conseguenza l'immagine non coincide con l'intero spazio vettoriale d'arrivo.

questa parte

[Pierlu11]

Il fatto che il determinante della matrice è nullo ti dice che il nucleo dell'endomorfismo ha dimensione maggiore o uguale a uno quindi sai per certo che non è iniettivo (è iniettivo che e solo se $ ker(f)={bar(0)} $ ), inoltre, per il teorema di nullità più rango affermi che $ dim(ker(f))=dim(V)-dim(Im(f))>0rArr dim(V)>dim(Im(f)) $ quindi non è suriettivo...

[sanjoe_pro]

grazie mille

[sanjoe_pro]

"Pierlu11":
Infine, risolvendo il sistema $ ( ( 1 , 1 , 3 ),( 1 , -1 , 1 ),( 2 , 3 , 7 ) ) ( ( x ),( y ),( z ) )=( ( 2 ),( 1 ),( 5 ) ) $, puoi concludere se il vettore del punto D) appartiene (se il sistema ha soluzione/i) o non appartiene (se il sistema è impossibile) all'immagine.

come si risolve questo sistema?

[Pierlu11]

Mi sembra strano che nel corso di Geometria hai parlato di endomorfismi e non hai mai visto la tecnica per risolvere i sistemi lineari...
In ogni caso, dopo aver fatto la moltiplicazione tra matrici, il metodo risolutivo delle superiori è sempre valido...

[sanjoe_pro]

si è che mi sembrava troppo semplice ... con il metodo spiegato durante il corso mi esce:

x=2/5
y=1
<=1/5

mi confermi questi risultati?

[Pierlu11]

A me sembra che il sistema è impossibile... (se provi a sostituire quei risultati vedrai che non torna...)

[sanjoe_pro]

mi faresti vedere il tuo svolgimento?

[Pierlu11]

Dopo aver ridotto la matrice "a scalini" con l'algoritmo di Gauss, ottieni
$ ( ( 1 , 1 , 3 ),( 0 , -2 , -2 ),( 0 , 1 , 1 ) )( ( 2 ),( -1 ),( 1 ) ) ->( ( 1 , 1 , 3 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) )( ( 2 ),( 1 ),( 1 ) ) $ ;
poiché il rango della matrice completa è 3 mentre quello della matrice dei coefficienti è 2, il sistema è impossibile...

[sanjoe_pro]

grazie mille