Endomorfismo con Parametro
Ciao a tutti, avrei bisogno di assistenza per la risoluzione del seguente esercizio, so risolvere gli endomorfismi ma è la prima volta che trovo un parametro:
$f: RR^3 -> RR^3$ definito da: $(x,y,z) -> (kx+2y, x+ky+z, 2y+kz), k in RR.$
1)determinare i valori del parametro $k$ per cui $f$ è invertibile e determinare negli altri casi il nucleo e l'immagine
2)determinare per quali valori di $k$ l'endomorfismo è diagonalizzabile e per tali valori diagonalizzare $f$.
nucleo ed immagine normalmente non ho nessun problema, un endomorfismo è diagonalizzabile se il polinomio caratteristico ammette solo radici reali e per ogni autovalore $lambda$ si ha $ma = mg$.
il problema è il punto 1, non riesco ad iniziare.
spero in qualche consiglio, Grazie!
$f: RR^3 -> RR^3$ definito da: $(x,y,z) -> (kx+2y, x+ky+z, 2y+kz), k in RR.$
1)determinare i valori del parametro $k$ per cui $f$ è invertibile e determinare negli altri casi il nucleo e l'immagine
2)determinare per quali valori di $k$ l'endomorfismo è diagonalizzabile e per tali valori diagonalizzare $f$.
nucleo ed immagine normalmente non ho nessun problema, un endomorfismo è diagonalizzabile se il polinomio caratteristico ammette solo radici reali e per ogni autovalore $lambda$ si ha $ma = mg$.
il problema è il punto 1, non riesco ad iniziare.
spero in qualche consiglio, Grazie!
Risposte
Per il punto 1): prova a scrivere la matrice associata... quando il suo determinante si annulla vuol dire che...
Grazie per aver risposto 
la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica di $RR^3$ è $A= ( ( 1 , k , 0 ),( -1 , -k , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
$A_2 = A_3 - A_1$ quindi $r(A)=2=dim IM f$
se faccio (come mi suggerisci) il det A : $-k+k -> 0
non capisco qual'è la condizione per cui $f$ è invertibile.
la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica di $RR^3$ è $A= ( ( 1 , k , 0 ),( -1 , -k , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
$A_2 = A_3 - A_1$ quindi $r(A)=2=dim IM f$
se faccio (come mi suggerisci) il det A : $-k+k -> 0
non capisco qual'è la condizione per cui $f$ è invertibile.
Come fai a ricavare la matrice associata? A me pare sbagliata... ricorda che le colonne della matrice associata sono fatte dai vettori delle coordinate (espresse rispetto alla base in arrivo) delle immagini dei vettori della base che scegli in partenza (detta così è un po' ostica, ma funziona bene sempre... ti invito a meditarla 
) (nel nostro caso, per semplicità, la base in partenza e quella in arrivo sono uguali e sono tutte e due quella canonica). Quindi calcola prima $f(e_1)$, che ha per coordinate il vettore colonna $((k),(1),(0))$, che è la prima colonna della tua matrice...
) (nel nostro caso, per semplicità, la base in partenza e quella in arrivo sono uguali e sono tutte e due quella canonica). Quindi calcola prima $f(e_1)$, che ha per coordinate il vettore colonna $((k),(1),(0))$, che è la prima colonna della tua matrice...
ti ho scritto la matrice associata di un altro esercizio a cui lavoravo XD (ieri non ci stavo più con la testa) [l'es. era ($x+ky, -x-ky+z, z$)]la matrice associata al nostro esercizio è $ ( ( k , 2 , 0 ),( 1 , k , 1 ),( 0 , 2 , k ) ) $
det = $k^3-2k-2k=k^3-4k$ -> $k(k^2 -4)=0$
$k!=0,+-2$
questi sono i valori per cui $f$ è invertibile?
continuando ho: $r(A)=3=dim IM f$
quindi $IMf=<(k,1,0),(2,k,2),(0,1,k)>$
combinazione lineare $alpha (k,1,0) + beta (2,k,2) + gamma (0,1,k)$ = $(k alpha + 2 beta, alpha + k beta + gamma, 2 beta+ k gamma)$
-> $IMf={(z_1, z_2, z_3) | z_1, z_2, z_3 in RR^3}$ [dim 3]
$dim Ker f = dim Spazio - dim IM f = 3-3=0$ -> $Ker f = {0}$
dubbio: i valori di K per cui l'endomorfismo è diagonalizzabile di solito li trovo come prima (det di A) quindi sono gli stessi ($k!=0,+-2$)?
Grazie.
I valori per cui l'endomorfismo è invertibile sono quelli per cui il determinante è diverso da zero. Infatti, se il determinante è uguale a zero, significa che ci sono due o più colonne linearmente dipendenti.
Per quanto riguarda la diagonalizzazione, la cosa è un po' più complicata. Devi calcolarti il polinomio caratteristico, e le sue radici (gli autovalori). Devi controllare che stiano tutti nel campo. Poi, per ogni autovalore, devi controllare che la sua molteplicità algebrica (ovverosia la sua molteplicità come radice del polinomio caratteristico) sia uguale alla sua molteplicità geometrica, ovverosia la dimesione del [tex]ker(A -\lambda Id)[/tex], dove $\lambda$ è l'autovalore in esame, $A$ è la matrice che prendi in considerazione. All'atto pratico, se il polinomio caratteristico ha tutte radici distinte, sei a posto, perché la molteplicità geometrica è sempre almeno uno.
Quindi ti suggerirei di fare così: calcola le radici del polinomio caratteristico. Saranno 3. Imponi che stiano nel campo. Imponi, all'intero di questo caso, di volta in volta, che una sia uguale ad una delle altre (dovrai fare 3 casi). Per ciascuno di essi, controlla se molteplicità algebrica e geometrica coincidono... e concludi. poi secondo me tutto questo discorso lo trovi spiegato bene su un qualche libro...
Eppoi sei fortunato perché hai $k$ solo sulla diagonale!
Per quanto riguarda la diagonalizzazione, la cosa è un po' più complicata. Devi calcolarti il polinomio caratteristico, e le sue radici (gli autovalori). Devi controllare che stiano tutti nel campo. Poi, per ogni autovalore, devi controllare che la sua molteplicità algebrica (ovverosia la sua molteplicità come radice del polinomio caratteristico) sia uguale alla sua molteplicità geometrica, ovverosia la dimesione del [tex]ker(A -\lambda Id)[/tex], dove $\lambda$ è l'autovalore in esame, $A$ è la matrice che prendi in considerazione. All'atto pratico, se il polinomio caratteristico ha tutte radici distinte, sei a posto, perché la molteplicità geometrica è sempre almeno uno.
Quindi ti suggerirei di fare così: calcola le radici del polinomio caratteristico. Saranno 3. Imponi che stiano nel campo. Imponi, all'intero di questo caso, di volta in volta, che una sia uguale ad una delle altre (dovrai fare 3 casi). Per ciascuno di essi, controlla se molteplicità algebrica e geometrica coincidono... e concludi. poi secondo me tutto questo discorso lo trovi spiegato bene su un qualche libro...
Eppoi sei fortunato perché hai $k$ solo sulla diagonale!
Grazie mi metto subito al lavoro! 
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