Endomorfismo (col parametro)
1. Si consideri l'endomor smo La di IR3 associato alla matrice
A = $ ((a,1,-1-a),(1,-1,0),(0,a,-a)) ainRR$
a) Si dica per quali valori del parametro a il vettore (1; 1; 1) appartiene a $N(L_a)$
e si calcolino, per ogni a, delle basi di $N(La)$ e $Im(L_a).$
b) Si dica per quali valori di a il vettore (0; 0; 1) appartiene a $Im(L_a).$
c) Posto a = 1, si determini la proiezione ortogonale di (1; 1; 1) su $Im(L_1).$
d) Posto a = 0, si dica se esiste una base B di $RR3$ tale che la matrice di $L_0$ ad essa
relativa sia P = $((1, 1, 1),(1, 1, 1),(1, 1, 1))$
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
non so se è per la paura dell'esame di martedì o sono rinc.... ma non riesco a risolvere questo esercizio di un vecchio esame.
a)calcolando il nucleo ottengo un sistema y=z; x=y; ay=az; non capisco come.. ma unica base possibile mi sembra (1,1,1) che quindi non capisco la prima domanda di calcolarli per ogni a
b)$Im(L)=<(a,1,0)(1,-1,a)>$ (ho scelto due colonne di A ora che so che dimIm(L)=2)
osservo che per a=-1 $(0,0,1)$=-(1,-1,-1)-(-1,1,0)
c) per a=1 calcolo una base ortonormale (sono già ortogonali)
$<1/sqrt(2) (1,1,0) ,1/sqrt(3)(1,-1,1)>
la proiezione di (1,1,1) è $(4/3,2/3,1/3)
d) la base B che chiedono è del dominio giusto?
cioè mi chiedono se eiste una base$ [b1,b2,b3]$ tale che
$f(b1)=(1,1,1) ,f(b2)=(1,1,1) ,f(b3)=(1,1,1)$???
a occhio direi di no, ma come si fa a verificarlo?
se qualcuno puo' aiutarmi! grazie in anticipo
A = $ ((a,1,-1-a),(1,-1,0),(0,a,-a)) ainRR$
a) Si dica per quali valori del parametro a il vettore (1; 1; 1) appartiene a $N(L_a)$
e si calcolino, per ogni a, delle basi di $N(La)$ e $Im(L_a).$
b) Si dica per quali valori di a il vettore (0; 0; 1) appartiene a $Im(L_a).$
c) Posto a = 1, si determini la proiezione ortogonale di (1; 1; 1) su $Im(L_1).$
d) Posto a = 0, si dica se esiste una base B di $RR3$ tale che la matrice di $L_0$ ad essa
relativa sia P = $((1, 1, 1),(1, 1, 1),(1, 1, 1))$
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non so se è per la paura dell'esame di martedì o sono rinc.... ma non riesco a risolvere questo esercizio di un vecchio esame.
a)calcolando il nucleo ottengo un sistema y=z; x=y; ay=az; non capisco come.. ma unica base possibile mi sembra (1,1,1) che quindi non capisco la prima domanda di calcolarli per ogni a
b)$Im(L)=<(a,1,0)(1,-1,a)>$ (ho scelto due colonne di A ora che so che dimIm(L)=2)
osservo che per a=-1 $(0,0,1)$=-(1,-1,-1)-(-1,1,0)
c) per a=1 calcolo una base ortonormale (sono già ortogonali)
$<1/sqrt(2) (1,1,0) ,1/sqrt(3)(1,-1,1)>
la proiezione di (1,1,1) è $(4/3,2/3,1/3)
d) la base B che chiedono è del dominio giusto?
cioè mi chiedono se eiste una base$ [b1,b2,b3]$ tale che
$f(b1)=(1,1,1) ,f(b2)=(1,1,1) ,f(b3)=(1,1,1)$???
a occhio direi di no, ma come si fa a verificarlo?
se qualcuno puo' aiutarmi! grazie in anticipo
Risposte
L'endomorfismo è $f:RR^3->RR^3$? e $N(La)$ si intende il nucleo dell'applicazione?!
Se si allora io ragiono in questo modo:
1)Studio il rango della matrice associata all'endomorfismo e noto che per $a!=-1, a!=0$ il $rgA=3$ mentre per $a=0,a=-1$ il $rgA=2$. Poichè noi dobbiamo verificare l'appartenenza di $(1,1,1)$ al nucleo, allora io dirò che $rgA=3 => dimIm(f)=3$ quindi per il teorema del rango $dimKer(f)=0$, cioè vi appartiene solo il vettore nullo. Mentre nel caso in cui $rgA=2 => dimIm(f)=2 => dimKer(f)=1$. Studio il nucleo costruendo il sistema $AX=0$, e ottengo un sistema in cui $x=y,z=y$, quindi l'insieme delle soluzioni sarà del tipo ${(y,y,y):y in R}$. Quindi dando ad $y=1$ otteniamo il vettore $(1,1,1)$, quindi si potrebbe dire per $a=0, a=-1 => (1,1,1) in Ker(f)$
Se si allora io ragiono in questo modo:
1)Studio il rango della matrice associata all'endomorfismo e noto che per $a!=-1, a!=0$ il $rgA=3$ mentre per $a=0,a=-1$ il $rgA=2$. Poichè noi dobbiamo verificare l'appartenenza di $(1,1,1)$ al nucleo, allora io dirò che $rgA=3 => dimIm(f)=3$ quindi per il teorema del rango $dimKer(f)=0$, cioè vi appartiene solo il vettore nullo. Mentre nel caso in cui $rgA=2 => dimIm(f)=2 => dimKer(f)=1$. Studio il nucleo costruendo il sistema $AX=0$, e ottengo un sistema in cui $x=y,z=y$, quindi l'insieme delle soluzioni sarà del tipo ${(y,y,y):y in R}$. Quindi dando ad $y=1$ otteniamo il vettore $(1,1,1)$, quindi si potrebbe dire per $a=0, a=-1 => (1,1,1) in Ker(f)$
"Lorin":
L'endomorfismo è $f:RR^3->RR^3$? e $N(La)$ si intende il nucleo dell'applicazione?!
Se si allora io ragiono in questo modo:
1)Studio il rango della matrice associata all'endomorfismo e noto che per $a!=-1, a!=0$ il $rgA=3$ mentre per $a=0,a=-1$ il $rgA=2$. Poichè noi dobbiamo verificare l'appartenenza di $(1,1,1)$ al nucleo, allora io dirò che $rgA=3 => dimIm(f)=3$ quindi per il teorema del rango $dimKer(f)=0$, cioè vi appartiene solo il vettore nullo. Mentre nel caso in cui $rgA=2 => dimIm(f)=2 => dimKer(f)=1$. Studio il nucleo costruendo il sistema $AX=0$, e ottengo un sistema in cui $x=y,z=y$, quindi l'insieme delle soluzioni sarà del tipo ${(y,y,y):y in R}$. Quindi dando ad $y=1$ otteniamo il vettore $(1,1,1)$, quindi si potrebbe dire per $a=0, a=-1 => (1,1,1) in Ker(f)$
si si è in $RR^3$ e N(L) è ker
non capisco perché a$!=$-1
$((a,1,-1-a),(1,-1,0),(0,a,-a))$-->$((a,1,-1-a),(0,a+1,-1-a),(0,a,-a))$-->$((a,1,-1-a),(0,1,-1),(0,a,-a))$
da cui deduco per qualsiasi $a$ ha rango 2 ( con a$!=0$)
se calcolo con a=0 sulla matrice di partenza
$((0,1,-1),(1,-1,0),(0,0,0))$
e vedo che è il rango è 2 anche per a=0,
dove sbaglio?? aiuto è urgente!
Per il fatto di $a!=-1$ scusa mi sono mangiato un segno nei calcoli. Era solo per $a!=0$.
Ora dovresti dire per ogni $a in RR-{0}$ il $rgA=3$ e per $a=0 => rgA=2$
Ora dovresti dire per ogni $a in RR-{0}$ il $rgA=3$ e per $a=0 => rgA=2$
"Lorin":
Per il fatto di $a!=-1$ scusa mi sono mangiato un segno nei calcoli. Era solo per $a!=0$.
Ora dovresti dire per ogni $a in RR-{0}$ il $rgA=3$ e per $a=0 => rgA=2$
scusami tanto se rompo in questo modo
ma se (terza matrice)$a!=0$
$((a,1,-1-a),(0,1,-1),(0,a,-a))$ si deduce che ha rango 2 per qualsiasi a (con $a!=0$)
calcolo con a=0 sulla matrice di partenza
$((0,1,-1),(1,-1,0),(0,0,0))$
si ha rango=2 anche per $a=0$ (come per a$!=0$)
significa che per ogni a il rango è 2 (cioè che non esiste un $a$ che dia rango=3 no? )
No aspè io mi rifaccio sempre alla matrice iniziale, ora ti spiego:
$((a,1,-1-a),(1,-1,0),(0,a,-a))$
Da qui calcolando il determinante otteniamo $a^2+a(1-a)+a => a^2+a-a^2+a => 2a!=0 => a!=0$, da cui capiamo che per ogni $a!=0$ il $rgA=3$. Mentre se $a=0$ io ottengo la matrice:
$((0,1,-1),(1,-1,0),(0,0,0))$ la quale ha ovviamente $rg=2$
$((a,1,-1-a),(1,-1,0),(0,a,-a))$
Da qui calcolando il determinante otteniamo $a^2+a(1-a)+a => a^2+a-a^2+a => 2a!=0 => a!=0$, da cui capiamo che per ogni $a!=0$ il $rgA=3$. Mentre se $a=0$ io ottengo la matrice:
$((0,1,-1),(1,-1,0),(0,0,0))$ la quale ha ovviamente $rg=2$
"Lorin":
No aspè io mi rifaccio sempre alla matrice iniziale, ora ti spiego:
$((a,1,-1-a),(1,-1,0),(0,a,-a))$
Da qui calcolando il determinante otteniamo $a^2+a(1-a)+a => a^2+a-a^2+a => 2a!=0 => a!=0$, da cui capiamo che per ogni $a!=0$ il $rgA=3$. Mentre se $a=0$ io ottengo la matrice:
$((0,1,-1),(1,-1,0),(0,0,0))$ la quale ha ovviamente $rg=2$
ho calcolato il determinante che io e mi risulta $0$
$a(a)-1[-a-(-1-a)a]$
$=a^2-[-a+a+a^2]$
$=a^2+a-a-a^2=0$
non mi sembra di aver sbagliato
(ti ringrazio nessuno si metterebbe la domenica notte a fare calcoli per uno sconosciuto gratuitamente e a trascriverli al pc con tanto di spiegazione! )
Si scusami ancora ma ero stanchissimo ieri. Come calcoli abbiamo provato che è sempre verificato ciò che dicevi, però se effettivamente tu sostituisce al posto della $a$ lo $0$, allora trovi che il $rgA=2$ 
ho risolto il resto oggi.. ora devo fare un ripasso di tutto..
domani ho l'esameeee
spero vada bene!!
domani ho l'esameeee
spero vada bene!!
in bocca al lupo allora
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