Endomorfismo autoaggiunto
Buon pomeriggio a tutti!
In $R^2$ euclideo consideriamo l'endomorfismo definito da $f(1,1)=(1,-1)$, $f(1,2)=(t,0)$ (si noti che f è ben definito essendo $(1,1)(1,2)$ una base di $R^2$). Vediamo per quali $t$ appartenenti a $R$ $f$ è autoaggiunto.
Una base ortonormale è $E=(1,0)(0,1)$=base canonica.
Con calcoli standard risulta
$M_f^(E,E)=((2-t,t-1),(-2,1))$
La matrice è simmetrica se e solo se $t-1=-2$, cioè $t=-1$. Quindi $f$ è autoaggiunto se e solo se $t=-1$.
Quello che non ho capito è quali sono i calcoli standard grazie a cui si ottiene quella matrice. Se qualcuno potesse indicarmeli gliene sarei molto grato perchè mi sono bloccato nella teoria e vorrei capire come si fa. Grazie in anticipo!
In $R^2$ euclideo consideriamo l'endomorfismo definito da $f(1,1)=(1,-1)$, $f(1,2)=(t,0)$ (si noti che f è ben definito essendo $(1,1)(1,2)$ una base di $R^2$). Vediamo per quali $t$ appartenenti a $R$ $f$ è autoaggiunto.
Una base ortonormale è $E=(1,0)(0,1)$=base canonica.
Con calcoli standard risulta
$M_f^(E,E)=((2-t,t-1),(-2,1))$
La matrice è simmetrica se e solo se $t-1=-2$, cioè $t=-1$. Quindi $f$ è autoaggiunto se e solo se $t=-1$.
Quello che non ho capito è quali sono i calcoli standard grazie a cui si ottiene quella matrice. Se qualcuno potesse indicarmeli gliene sarei molto grato perchè mi sono bloccato nella teoria e vorrei capire come si fa. Grazie in anticipo!
Risposte
$((1,t),(-1,0))((1,1),(1,2))^(-1)$
ti ringrazio! ovviamente dai calcoli risulta giusto, ma non ho capito sulla base di cosa si fa questo. grazie della pazienza
La matrice di sinistra, le cui colonne sono i trasformati della base "innaturale" espressi rispetto alla base naturale, rappresenta la trasformazione lineare quando le componenti dei vettori di partenza sono rispetto alla base "innaturale" mentre le componenti dei vettori di arrivo sono rispetto alla base naturale. La matrice di destra è la classica matrice di cambiamento di base dalla base naturale alla base "innaturale". Moltiplicandole ottieni la matrice della trasformazione lineare rispetto alla base naturale.
grazie ancora della pazienza sei stato utilissimo, buona giornata.
Riguardando queste cose mi sono reso conto che non le ho capite.
Sarei molto grato se qualcuno potrebbe provare spiegarmi il procedimento in un modo che io riesca a capire.
Ciò che ho capito io è che, date le immagini $f(1,1)=(1,-1)$, $f(1,2)=(t,0)$, posso ricavare la matrice
associata all'endomorfismo mediante la base $B$, cioè $M_f^(BB)=((1,t),(-1,0))$. Poi costruisco la matrice di
passaggio da $E$ a $B$, che è $M_(BE)=((1,1)(1,2))$. A questo punto non so più cosa fare, se qualcuno riuscisse a spiegarmelo
senza dare nulla per scontato mi farebbe un immenso piacere.
Sarei molto grato se qualcuno potrebbe provare spiegarmi il procedimento in un modo che io riesca a capire.
Ciò che ho capito io è che, date le immagini $f(1,1)=(1,-1)$, $f(1,2)=(t,0)$, posso ricavare la matrice
associata all'endomorfismo mediante la base $B$, cioè $M_f^(BB)=((1,t),(-1,0))$. Poi costruisco la matrice di
passaggio da $E$ a $B$, che è $M_(BE)=((1,1)(1,2))$. A questo punto non so più cosa fare, se qualcuno riuscisse a spiegarmelo
senza dare nulla per scontato mi farebbe un immenso piacere.
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