Endomorfismo al variare di un parametro.

[_Daniele_]

Sia $V$ spazio vettoriale con base $ v_1 , v_2 , v_3 $ e sia dato al variare di $ h $ l'endomorfismo $ f $ di $ V $ associato alla matrice: $ A= ( ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 2 , h ),( 0 , 0 , h ) ) $ . Determina al variare di $ h $ una base per $ ker f $.

Per $ h != 0 $ non ho una base per il nucleo.
Per $h=0$ ho che il $rkA=2$, ergo $ImA=2$. Per il teorema di nullità più rango ho che: $dim(kerf)=1$. Ora sorge la domanda? Cosa prendo come base? Il libro prende la terza colonna della matrice $A$ ma sinceramente non lo capisco.
Grazie per l'aiuto.

[isaac888]

Se poni $h=0$ puoi osservare che la matrice $A$ ti diventa questa:
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
e questo altro non vuol dire se non che l'applicazione $f$ rappresentata dalla matrice $A$ manda $e_1$ in $A^1$, $e_2$ in $A^2$ ed $e_3$ in $A^3$ (è proprio qui l'idea del libro!). Come puoi osservare dunque $$f(e_3)=\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}$$Per cui il vettore $e_3$ è un vettore del $Ker(f)$.

Chiaramente ora un vettore l'hai trovato. Osservi che il rango è 2, perciò la dimensione del $ker(f)$ è 1 ed è generato proprio da $e_3$.