Endomorfismo.....
Salve a tutti, volevo fare un apiccola domanda sull'endomofismo... Data, ad esempio la matrice $A=((3,-1,1),(0,2,0),(1,-1,3))$, l'endomorfismo lo posso anche rappresentare in questo modo: $phi(x,y,z)=(3x-y+z, 2y, x-y+3z)$???
Risposte
se è la matrice associata rispetto alla base canonica di $R^3$ allora si
( se l'endomorfismo è $phi: R^3 -> R^3$ )
( se l'endomorfismo è $phi: R^3 -> R^3$ )
non saprei dice l'esercizio calcolare il nucleo e l'immagine dell'endomorfismo rappresentato (rispetto alle basi canoniche) della matrice A stessa... io ora nons o come cominciare...
Per trovare il nucleo, visto che sai che la matrice associata è rispetto alle basi canoniche, ti basta impostare un sistema di questo genere:
${(3x-y+z=0),(2y=0),(x-y+3z=0):}$
che piu formalmente è il prodotto righe per colonne $Ax=0$ dove A è la matrice associata e x è $((x),(y),(z))$
Risolvendo il sistema sarai in grado di determinare la dimensione del nucleo e la sua base, e di conseguenza per il Teorema della nullità e del rango, la dimensione dell'immagine e la sua rispettiva base
Prova da solo/a, se serve ancora aiuto fammi sapere.
${(3x-y+z=0),(2y=0),(x-y+3z=0):}$
che piu formalmente è il prodotto righe per colonne $Ax=0$ dove A è la matrice associata e x è $((x),(y),(z))$
Risolvendo il sistema sarai in grado di determinare la dimensione del nucleo e la sua base, e di conseguenza per il Teorema della nullità e del rango, la dimensione dell'immagine e la sua rispettiva base
Prova da solo/a, se serve ancora aiuto fammi sapere.
allora risolvendo il sitema mi viene che $(x,y,z)=(0,0,0)$ dunque il nucleo ha dimensione pari a zero....
ora dato che i tre vettori sono linearmente indipendenti abbiamo che l'immagine ha dimensione pari a tre e la sua base è rappresentata da $B_(Im)={(3,0,1),(-1,2,1),(1,0,3)}$?????
ora dato che i tre vettori sono linearmente indipendenti abbiamo che l'immagine ha dimensione pari a tre e la sua base è rappresentata da $B_(Im)={(3,0,1),(-1,2,1),(1,0,3)}$?????
se i calcoli son giusti si 
la base dell'immagine è data dalle colonne della matrice $A$?
si...!
!
ok, capito, grazie...Ma per vedere se A è diagonalizzabile devo fare $A=((3-lambda,-1,1),(0,2-lambda,0),(1,-1,3-lambda))$ ora applico laplace alla seconda colonna e ottengo il polinomio caratteristico $(2-lambda)(3-lambda)^2$ dunque l'endomorfismo ha gli autovalori $lambda_1=2$ e $lambda_2=3$
ora $m_a(2)+m_a(3)=1+2=3$
ora devo verificare che la molteplicità geometrica coincide con quella algebrica:
per $lambda=2$
$A-2I=((3-2, -1, 1),(0, 2-2, 0),(1, -1, 3-2))rarr ((1,-1,1),(0,0,0),(1,-1,1))$ il rango è $1$ e la molteplicità geometrica è data da $mg(2)=3-rg(A-2I)=2$
per $lambda=3$
$A-3I=((3-3, -1, 1),(0, 2-3, 0),(1, -1, 3-3))rarr ((0,-1,1),(0,-1,0),(1,-1,0))$ applico laplace alla terza colonna e ottengo che il rango è $3$ la molteplità geometrica è $mg(3)=3-rg(A-3I)=0$
e infine abbiamo che $mg(2)+mg(3)=2-0=2$ e non coicide con la somma delle molteplicità algebriche quindi non diagonalizzabile..ho fatto bene?
ora $m_a(2)+m_a(3)=1+2=3$
ora devo verificare che la molteplicità geometrica coincide con quella algebrica:
per $lambda=2$
$A-2I=((3-2, -1, 1),(0, 2-2, 0),(1, -1, 3-2))rarr ((1,-1,1),(0,0,0),(1,-1,1))$ il rango è $1$ e la molteplicità geometrica è data da $mg(2)=3-rg(A-2I)=2$
per $lambda=3$
$A-3I=((3-3, -1, 1),(0, 2-3, 0),(1, -1, 3-3))rarr ((0,-1,1),(0,-1,0),(1,-1,0))$ applico laplace alla terza colonna e ottengo che il rango è $3$ la molteplità geometrica è $mg(3)=3-rg(A-3I)=0$
e infine abbiamo che $mg(2)+mg(3)=2-0=2$ e non coicide con la somma delle molteplicità algebriche quindi non diagonalizzabile..ho fatto bene?
è esatto
Ma se ad esempio avevamo tre autovalori distinti con molteplicità algebrica pari a uno allora potevo dire, senza andare a calcolare le moltplicità geometriche, che per il teorema Spettrale $phi$ è diagonalizzabile?
si
ma la dimensione e la base di ciascun autospazio come si calcola? cioè ad esempio la matrice è $((3-lambda,0,0),(3,-1-lambda,0),(2,2,2-lambda))$ calcolo il polinomio caratteristico con Laplace (applicato alla prima riga):
$(3-lambda)(-1-lambda)(2-lambda)$ dunque gli autovalori sono $lambda=3$, $lambda=-1$ e $lambda=2$ ora
per $lambda=3$ abbiamo:
$((0,0,0),(3,-4,0),(2,2,-1))$ la dimensione è 2 e la base è $B={(3,-4,0),(2,2,-1)}$??? e ho trovato la dimensione e la base del primo autospazio?
$(3-lambda)(-1-lambda)(2-lambda)$ dunque gli autovalori sono $lambda=3$, $lambda=-1$ e $lambda=2$ ora
per $lambda=3$ abbiamo:
$((0,0,0),(3,-4,0),(2,2,-1))$ la dimensione è 2 e la base è $B={(3,-4,0),(2,2,-1)}$??? e ho trovato la dimensione e la base del primo autospazio?
$dimV_lambda=dimV-rg(A-lambdaI)$
Quindi:
$dimV_3=3-rg((0,0,0),(3,-4,0),(2,2,-1))$
Quindi:
$dimV_3=3-rg((0,0,0),(3,-4,0),(2,2,-1))$
ho capito quindi la dimensione è $1$ la base è giusta invece?
Se non sbaglio dovrebbe essere $(4,3,14)$
ma come è uscito questo vettore?
$((0,0,0),(3,-4,0),(2,2,-1))$
Devi risolvere $\{(3x-4y=0),(2x+2y-z=0):}$
Devi risolvere $\{(3x-4y=0),(2x+2y-z=0):}$
ma come mai mi esce che la dimensione per $lambda=2$ è zero?.. è impossibile la dimensione dell'autosoazio non è sempre $>=1$????
i conti sembra che tornano: $dimV_2=2-rg((3-2,0,0),(3,-1-2,0),(2,2,2-2))= 2-rg((1,0,0),(3,-3,0),(2,2,0))$ ora dato che la matrice ha una colonna nulla allora il determinante di ordine tre è 0 dunque il rango è due:
$dimV_2=2-2=0$; dove ho sbagliato?
i conti sembra che tornano: $dimV_2=2-rg((3-2,0,0),(3,-1-2,0),(2,2,2-2))= 2-rg((1,0,0),(3,-3,0),(2,2,0))$ ora dato che la matrice ha una colonna nulla allora il determinante di ordine tre è 0 dunque il rango è due:
$dimV_2=2-2=0$; dove ho sbagliato?
La dimensione dell'ambiente è $3$, quindi devi scrivere $dimV_2=3-rg((3-2,0,0),(3,-1-2,0),(2,2,2-2))$
l'ambiente stà per i tre autovalori????
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo