Endomorfismo
Salve, qualcuno, potrebbe farmi uno schema su come determinare un endomorfismo di uno spazio vettoriale?
Risposte
Endomorfismo di cosa? Cerca di mettere un contesto intorno alla domanda...
Ho trovato una serie di esercizi in cui mi si chiedeva di determinare un endomorfismo dati dei punti del dominio e le loro immagini.
In realtà, la mia domanda è più generale, volevo sapere se qualcuno di voi conosce un procedimento che permetta di determinare un endomorfismo.
In realtà, la mia domanda è più generale, volevo sapere se qualcuno di voi conosce un procedimento che permetta di determinare un endomorfismo.
Ma endomorfismo di uno spazio vettoriale? Di cosa? Riporta l'esercizio, prova a dare qualche definizione e/o contestualizzare meglio il problema e scrivi un tentativo di risoluzione!
Nello spazio numerico di dimensione 3 si considerino i sistemi S=((1,0,0),(1,0,1),(2,1,0)) ed S'=((1,0,0),(1,1,1),(0,1,1))
1-Studiare S ed S' riguardo la loro dipendenza
2-Rappresentare nel riferimento canonico R il sottospazio generato da S'
3-Rappresentare in R un endomorfismo che trasformi S in S'
4-f può essere un automorfismo?
5-Studiare la diagonalizzabilità di f.
A grandi linee ho risolto così:
1.S è linearmente indipendente (ho formato una matrice le cui colonne sono i vettori di S e ho studiato la matrice ridotta in forma a scala)
S' è linearmente dipendente (come sopra)
2. Una base del sottospazio generato da S' sono le righe indipendenti della matrice ridotta in forma a scala (dal procedimento è uscito (1,0,0),(0,1,1))
Ho espresso il sistema ((1,0,0),(0,1,1)) nel sistema canonico di R^3.
3. Ho considerato quell'applicazione che trasforma ordinatamente i vettori di S nei vettori di S', ho formato dunque la matrice associata e ho determinato l'endomorfismo.
4. Un automorfismo non può esistere poichè l'omomorfismo dovrebbe risultare un isomorfismo e sappiamo che un isomorfismo conserva la dipendenza lineare e l'indipendenza lineare. Nel nostro caso si trasforma un sistema indipendente in uno dipendente.
5. Una volta determinato un endomorfismo ho scritto il polinomio caratteristico e studiato le radici.
Il mio dubbio più forte è al punto tre. Chi mi dice che quello che ho scritto io a priori è un endomorfismo???????
1-Studiare S ed S' riguardo la loro dipendenza
2-Rappresentare nel riferimento canonico R il sottospazio generato da S'
3-Rappresentare in R un endomorfismo che trasformi S in S'
4-f può essere un automorfismo?
5-Studiare la diagonalizzabilità di f.
A grandi linee ho risolto così:
1.S è linearmente indipendente (ho formato una matrice le cui colonne sono i vettori di S e ho studiato la matrice ridotta in forma a scala)
S' è linearmente dipendente (come sopra)
2. Una base del sottospazio generato da S' sono le righe indipendenti della matrice ridotta in forma a scala (dal procedimento è uscito (1,0,0),(0,1,1))
Ho espresso il sistema ((1,0,0),(0,1,1)) nel sistema canonico di R^3.
3. Ho considerato quell'applicazione che trasforma ordinatamente i vettori di S nei vettori di S', ho formato dunque la matrice associata e ho determinato l'endomorfismo.
4. Un automorfismo non può esistere poichè l'omomorfismo dovrebbe risultare un isomorfismo e sappiamo che un isomorfismo conserva la dipendenza lineare e l'indipendenza lineare. Nel nostro caso si trasforma un sistema indipendente in uno dipendente.
5. Una volta determinato un endomorfismo ho scritto il polinomio caratteristico e studiato le radici.
Il mio dubbio più forte è al punto tre. Chi mi dice che quello che ho scritto io a priori è un endomorfismo???????
Ah, ma allora hai fatto tutto. Bene! Per il dubbio direi che ha una risposta banale: sia $A \in M_3(RR)$ la matrice, che dici di aver trovato, tale che
$A v_1 = w_1, \ A v_2 = w_2, \ A v_3 = w_3$ (dove $v_1,v_2,v_3$ e $w_1,w_2,w_3$ sono rispettivamente i vettori di $S$ e $S'$). Allora, in pratica, stai considerando l'applicazione
$f : RR^3 \rightarrow RR^3, \ \ v \mapsto Av$.
Ed è facile dimostrare che quest'applicazione è lineare:
$f(v+v')=A(v+v')=Av + Av' = f(v) + f(v')$
$f(\lambda v) = A(\lambda v) = \lambda \cdot (Av) = \lambda \cdot f(v)$
per ogni $v,v' \in RR^3, \lambda \in RR$.
Allora $f$, essendo un'applicazione di $RR^3$ in sé, è un endomorfismo, per definizione.
$A v_1 = w_1, \ A v_2 = w_2, \ A v_3 = w_3$ (dove $v_1,v_2,v_3$ e $w_1,w_2,w_3$ sono rispettivamente i vettori di $S$ e $S'$). Allora, in pratica, stai considerando l'applicazione
$f : RR^3 \rightarrow RR^3, \ \ v \mapsto Av$.
Ed è facile dimostrare che quest'applicazione è lineare:
$f(v+v')=A(v+v')=Av + Av' = f(v) + f(v')$
$f(\lambda v) = A(\lambda v) = \lambda \cdot (Av) = \lambda \cdot f(v)$
per ogni $v,v' \in RR^3, \lambda \in RR$.
Allora $f$, essendo un'applicazione di $RR^3$ in sé, è un endomorfismo, per definizione.
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