Endomorfismo

[indovina]

Ho questo esercizio, vorrei dei chiarimenti, per vedere se ho capito qualcosa

Siamo in $R^3$

$a=(1,-1,0)$
$b=(2,-1,0)$
$c=(5,-1,0)$

$g(a)=(3,-3,0)$
$g(b)=(6,-3,0)$
$g(c)=(0,0,0)$

i) dire se è determinato l'endomorfismo g
Si, è determinato un endomorfismo
Sono linearmente indipendenti.

ii) Determinare $ker g$ ed $img$
Noto che:

$g(a)=3a$
$g(b)=3b$
$g(a)-3a=g(b)-3b$
$g(a-b)=3a-3b$
$g(a-b)=3(a-b)$

Quindi Contenuti nel nucleo sono: $L(c,a-b)$ <=Kerg$
$a-b$=$(-1,0,0)$

Il nucleo può essere al massimo $3$ perchè stiamo in $R^3$ (se fosse proprio $3$ i vettori dovrebbero andare tutti nei vettori

d'arrivo nulli, ma non sono tutti nulli).

Dim nucleo= Dim Ker = $2$

$2$ perchè il nucleo contiene due componenti $c$ e $a-b$.

Im(g) = Dim dello spazio - Ker(g)
Dim dello spazio = $3$
Ker(g)=2
Im(g)=1

Ma avrei anche un altro modo di risolverlo, però mi da valori diversi.

Senza vedere quelle relazioni di prima, vedo il ker come
Ker(g)=dimIm(g)-il resto
Ker poi dato che è il vettore che endomorfizzato va nel vettore nullo, posso dire che è 1 solo perche di vettori nulli ce ne sono solo 1.
DimKer(g)=1.

Qual'è che va bene?

[Steven11]

"clever":
Siamo in $R^3$

$a=(1,-1,0)$
$b=(2,-1,0)$
$c=(5,-1,0)$

$g(a)=(3,-3,0)$
$g(b)=(6,-3,0)$
$g(c)=(0,0,0)$
Sono linearmente indipendenti.

Ciao, temo tu abbia ricopiato male.
Sicuro che quei tre vettori sono linearmente indipendenti? Si vede subito che mettendoli in matrice, il det di questa è uguale a zero (una colonna solo di zeri).

Guarda un attimo

[indovina]

Nooo

Sono dipendenti, il determinante è nullo per la definizione teorica che se c'è una colonna con tutti $0$ il determinante è $0$ per

forza.

[Aliceluna85]

$ x (3,-3,0) + y (6,-3,0) + c (0,0,0) = (0,0,0)$

$\{(3x + 6y =0),(-3x -3b =0):}$

risolvo

$\{(x=0),(y =0):}$

$Ker g = (0,0,c)$ con $c=1$ $BaseKerg=(0,0,1)$ $DimKerg=1$

$dim V = dim Kerg + dim Im f$
$dimImg = dim V - dimKerg$
$dimImg=2"

è Verificata perchè c'è un vettore nullo e quindi lo aliminiamo

$baseImg=(3,-3,0)(6,-3,0)$