Endomorfismo
Salve a tutti qualcuno può cercare di risolvermelo...ho chiare le definizioni di nucleo e immagine ma non ho capito come si trovano le bsi...forse bisogna dimostrare prima che f(x,y,z)=(x,y-z,-x+y-z) è una base e poi dire che è una base pure per imf(f) e ker(f)...???? 
!!!
Sia f:R^3 freccia R^3 l'endomorfismo tale che f(x,y,z)=(x,y-z,-x+y-z)
Determinare ker(f) e una sua base.
Determinare Imf(f) e una sua base.
Calcolare autovettori e autovalori di f e dire se f è diagonalizzabile e perchè.
!!!Sia f:R^3 freccia R^3 l'endomorfismo tale che f(x,y,z)=(x,y-z,-x+y-z)
Determinare ker(f) e una sua base.
Determinare Imf(f) e una sua base.
Calcolare autovettori e autovalori di f e dire se f è diagonalizzabile e perchè.
Risposte
Il ker è il sottospazio del dominio che ha come immagine il vettore nullo, quindi la sua espressione cartesiana si trova uguagliando l'immagine al vettore nullo, cioè:
$\{(x=0),(y-z=0),(-x+y-z=0):}$
Sostituendo la prima nella terza si trova:
$\{(x=0),(y=z),(+y=z):}$
La seconda e la terza sono uguali, una si può omettere, quindi l'equazione cartesiana del ker è:
$\{(x=0),(y=z):}$
Due equazioni in tre incognite, serve un parametro libero, poniamo ad esempio $y=\alpha$, allora otteniamo:
$\{(x=0),(y=\alpha),(z=\alpha):}$
Il generico vettore appartenente al ker ha questa forma: $((0),(\alpha),(\alpha)) = \alpha*((0),(1),(1))$.
Quindi la base del ker è data dal vettore: $((0),(1),(1))$
Per quanto riguarda l'immagine, questa vale: $((x),(y-z),(-x+y-z))$, raccogliendo le incognite questo vettore si può scrivere come: $x*((1),(0),(-1)) + y*((0),(1),(1)) + z*((0),(-1),(-1))$.
Quindi l'immagine è lo spazio generato dai vettori $((1),(0),(-1))$, $((0),(1),(1))$ e $((0),(-1),(-1))$
Gli ultimi due vettori sono linearmente dipendenti, dato che differiscono solo per una costante moltiplicativa uno può essere omesso, quindi la base dell'immagine è costituita da questi due vettori:
$((1),(0),(-1))$ e $((0),(1),(1))$
Per quanto riguarda l'ultima domanda devi prima scrivere la matrice che rappresenta la $f$, che in questo caso risulta essere:
$A=((1, 0, 0),(0, 1, -1),(-1, 1, -1))$
Per trovare gli autovalori devi calcolare il determinante della matrice $A-\lambdaI$, dove con $I$ indico la matrice identità.
L'espressione di questo determinante prende il nome di polinomio caratteristico.
Una volta calcolato il determinante lo devi porre uguale a zero: i valori $\lambda$ che risolvono l'equazione sono gli autovalori.
Per ogni autovalore $\lambda_i$ quindi puoi costruire una matrice $A-\lambda_iI$.
Il ker di questa matrice risulta essere l'autospazio relativo all'autovalore $\lambda_i$.
Facendo questo conto per ogni autovalore trovi gli autospazi associati ad ogni autovalore.
Gli autovettori relativi ad un autovalore sono i vettori appartenenti all'autospazio, tranne il vettore nullo.
Formalmente gli autovettori relativi all'autovalore $\lambda_i$ sono tutti i vettori $v$ tali che: $v \in ker(A-\lambda_i)-\{\mathcal{O}\}$, dove con $\mathcal{O}$ indico il vettore nullo.
Si definisce molteplicità algebrica di un autovalore come il numero di volte che è soluzione del polinomio caratteristico.
Tanto per intendersi, se dovesse risutare $(\lambda-1)^2=0$, la soluzione $\lambda=1$ sarebbe doppia e tale autovalore avrebbe molteplicità algebrica pari a $2$.
Si definisce molteplicità geometrica di un autovalore come la dimensione dell'autospazio ad esso associato.
L'applicazione è diagonalizzabile, per definizione, se e solo se gli autovalori formano una base del dominio.
Alternativamente puoi verificare che per ogni autovalore la molteplicità algebrica e geomatrica coincidano.
$\{(x=0),(y-z=0),(-x+y-z=0):}$
Sostituendo la prima nella terza si trova:
$\{(x=0),(y=z),(+y=z):}$
La seconda e la terza sono uguali, una si può omettere, quindi l'equazione cartesiana del ker è:
$\{(x=0),(y=z):}$
Due equazioni in tre incognite, serve un parametro libero, poniamo ad esempio $y=\alpha$, allora otteniamo:
$\{(x=0),(y=\alpha),(z=\alpha):}$
Il generico vettore appartenente al ker ha questa forma: $((0),(\alpha),(\alpha)) = \alpha*((0),(1),(1))$.
Quindi la base del ker è data dal vettore: $((0),(1),(1))$
Per quanto riguarda l'immagine, questa vale: $((x),(y-z),(-x+y-z))$, raccogliendo le incognite questo vettore si può scrivere come: $x*((1),(0),(-1)) + y*((0),(1),(1)) + z*((0),(-1),(-1))$.
Quindi l'immagine è lo spazio generato dai vettori $((1),(0),(-1))$, $((0),(1),(1))$ e $((0),(-1),(-1))$
Gli ultimi due vettori sono linearmente dipendenti, dato che differiscono solo per una costante moltiplicativa uno può essere omesso, quindi la base dell'immagine è costituita da questi due vettori:
$((1),(0),(-1))$ e $((0),(1),(1))$
Per quanto riguarda l'ultima domanda devi prima scrivere la matrice che rappresenta la $f$, che in questo caso risulta essere:
$A=((1, 0, 0),(0, 1, -1),(-1, 1, -1))$
Per trovare gli autovalori devi calcolare il determinante della matrice $A-\lambdaI$, dove con $I$ indico la matrice identità.
L'espressione di questo determinante prende il nome di polinomio caratteristico.
Una volta calcolato il determinante lo devi porre uguale a zero: i valori $\lambda$ che risolvono l'equazione sono gli autovalori.
Per ogni autovalore $\lambda_i$ quindi puoi costruire una matrice $A-\lambda_iI$.
Il ker di questa matrice risulta essere l'autospazio relativo all'autovalore $\lambda_i$.
Facendo questo conto per ogni autovalore trovi gli autospazi associati ad ogni autovalore.
Gli autovettori relativi ad un autovalore sono i vettori appartenenti all'autospazio, tranne il vettore nullo.
Formalmente gli autovettori relativi all'autovalore $\lambda_i$ sono tutti i vettori $v$ tali che: $v \in ker(A-\lambda_i)-\{\mathcal{O}\}$, dove con $\mathcal{O}$ indico il vettore nullo.
Si definisce molteplicità algebrica di un autovalore come il numero di volte che è soluzione del polinomio caratteristico.
Tanto per intendersi, se dovesse risutare $(\lambda-1)^2=0$, la soluzione $\lambda=1$ sarebbe doppia e tale autovalore avrebbe molteplicità algebrica pari a $2$.
Si definisce molteplicità geometrica di un autovalore come la dimensione dell'autospazio ad esso associato.
L'applicazione è diagonalizzabile, per definizione, se e solo se gli autovalori formano una base del dominio.
Alternativamente puoi verificare che per ogni autovalore la molteplicità algebrica e geomatrica coincidano.
Ciao avrei due domande da farti:
tu hai detto:
Per ogni autovalore $\lambda_i$ quindi puoi costruire una matrice $A-\lambda_iI$.
Il ker di questa matrice risulta essere l'autospazio relativo all'autovalore $\lambda_i$.
Facendo questo conto per ogni autovalore trovi gli autospazi associati ad ogni autovalore.
Faccio un esempio!
sia la matrice A:
1 -2
A=-3 2
(A-lambdaI_1)=0
Quindi:
1-lambda -2
0=det -3 2-lambda
Si ottiene il polinomio:
(1-lambda)(2-lambda)-6=lambda^2-3lambda-4=0
il polinomio caratteristico ha molteplicità algebrica uguale a 2.
Pertanto gli autovalori sono lambda_1=-1 e lambda_2=4.
Ora come si cercano gli autovettori relativi agli autovalori -1 e 4??
Poi un'altra cosa affinchè un'applicazione risulti diagonalizzabile la molteplicità algebrica e geomatrica devono coincidere per ogni autovalore....ma come si ricava la molteplicità geometrica puoi dirmi come si trova la molteplicità geometrica in questo esercizio ???
tu hai detto:
Per ogni autovalore $\lambda_i$ quindi puoi costruire una matrice $A-\lambda_iI$.
Il ker di questa matrice risulta essere l'autospazio relativo all'autovalore $\lambda_i$.
Facendo questo conto per ogni autovalore trovi gli autospazi associati ad ogni autovalore.
Faccio un esempio!
sia la matrice A:
1 -2
A=-3 2
(A-lambdaI_1)=0
Quindi:
1-lambda -2
0=det -3 2-lambda
Si ottiene il polinomio:
(1-lambda)(2-lambda)-6=lambda^2-3lambda-4=0
il polinomio caratteristico ha molteplicità algebrica uguale a 2.
Pertanto gli autovalori sono lambda_1=-1 e lambda_2=4.
Ora come si cercano gli autovettori relativi agli autovalori -1 e 4??
Poi un'altra cosa affinchè un'applicazione risulti diagonalizzabile la molteplicità algebrica e geomatrica devono coincidere per ogni autovalore....ma come si ricava la molteplicità geometrica puoi dirmi come si trova la molteplicità geometrica in questo esercizio ???
Allora, il polinomio caratteristico è: $\lambda^2-3\lambda-4=0$.
Gli autovalori sono $\lambda_1=-1$ e $\lambda_2=4$, ma hanno molteplicità algebrica $1$, in quanto ognuno azzera una sola volta l'equazione.
Per determinare gli autovettori relativi all'autovalore $\lambda_1$ prima devi costruire la matrice $A-\lambda_1I$, poi trovi il ker di questa matrice.
Il ker risulta essere l'autospazio relativo a questo autovalore.
Gli autovettori relativi all'autovalore $\lambda_1$ sono tutti i vettori appartenenti a questo autospazio diversi dal vettore nullo.
Per determinare gli autovettori relativi all'altro autovalore procedi analogamente scambiando $\lambda_1$ con $\lambda_2$.
Per la molteplicità geometrica: una volta trovato l'autospazio relativo al primo autovalore, ovvero il ker di $A-\lambda_1I$, ti basta calcolare la dimensione di tale spazio, quella è la molteplicità geometrica.
Gli autovalori sono $\lambda_1=-1$ e $\lambda_2=4$, ma hanno molteplicità algebrica $1$, in quanto ognuno azzera una sola volta l'equazione.
Per determinare gli autovettori relativi all'autovalore $\lambda_1$ prima devi costruire la matrice $A-\lambda_1I$, poi trovi il ker di questa matrice.
Il ker risulta essere l'autospazio relativo a questo autovalore.
Gli autovettori relativi all'autovalore $\lambda_1$ sono tutti i vettori appartenenti a questo autospazio diversi dal vettore nullo.
Per determinare gli autovettori relativi all'altro autovalore procedi analogamente scambiando $\lambda_1$ con $\lambda_2$.
Per la molteplicità geometrica: una volta trovato l'autospazio relativo al primo autovalore, ovvero il ker di $A-\lambda_1I$, ti basta calcolare la dimensione di tale spazio, quella è la molteplicità geometrica.
Ma per trovare il ker di questa matrice devo porre la la matrice sottoforma di sistema omogeneo??
cioè in questo modo:
la matrice A-lamba_1 è la matrice A+1I:
2 -2
-3 3
si pone il sistema AX=0:
2x-2y=0
-3x+3y=0
Da quello che ho visto da alcuni esercizi in internet si poneva il sistema omogeneo per ottenere ker perchè ha componenti nulle....
cioè in questo modo:
la matrice A-lamba_1 è la matrice A+1I:
2 -2
-3 3
si pone il sistema AX=0:
2x-2y=0
-3x+3y=0
Da quello che ho visto da alcuni esercizi in internet si poneva il sistema omogeneo per ottenere ker perchè ha componenti nulle....
Sì, va bene: quelle due equazioni, che poi sono la stessa cosa, sono l'equazione dell'autospazio relativo all'autovalore $\lambda_1=-1$, quindi l'equazione dell'autospazio è: $x=y$.
Ponendo $x=\alpha$ si ha che il generico vettore appartenente a questo autospazio, cioè un generico autovettore relativo all'autovalore $\lambda_1=-1$ è: $((\alpha),(\alpha)) = \alpha*((1),(1))$.
Quindi il vettore $((1),(1))$ è la base di questo autospazio, ed inoltre è anche un particolare autovettore.
Fondamentalmente gli autovettori relativi a questo autovalore sono tutti e soli i vettori che hanno le due componenti uguali, ad esempio: $((2),(2))$, $((3),(3))$, $((4),(4))$, etc...
Ponendo $x=\alpha$ si ha che il generico vettore appartenente a questo autospazio, cioè un generico autovettore relativo all'autovalore $\lambda_1=-1$ è: $((\alpha),(\alpha)) = \alpha*((1),(1))$.
Quindi il vettore $((1),(1))$ è la base di questo autospazio, ed inoltre è anche un particolare autovettore.
Fondamentalmente gli autovettori relativi a questo autovalore sono tutti e soli i vettori che hanno le due componenti uguali, ad esempio: $((2),(2))$, $((3),(3))$, $((4),(4))$, etc...
Grazie mille Tipper per la tua disponibilità a rispondermi Tipper!!!!!ma sei anche tu uno studente di ingegneria?? !!
!!
Sì, studio ingegneria informatica.
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