Endomorfismo

[pietro1231]

Considera l'endomorfismo $T:M_(2,2)(R) -> M_(2,2)(R)$ dato da $T(A)=2A+6A^T$
1) Scrivi la matrice associata a $T$ rispetto ad una base a tua scelta
2) Trova nucleo e immagine di $T$
3) Determina autovalori e autovettori
4) Stabilisci se $T$ sia diagonalizzabile

Se non riesco a rispondere alla prima domanda non posso proseguire...
So come si determinano autovalori e autovettori e anche se una matrice e diagonalizzabile... ma non riesco a capire come rispondere alla prima domanda

[feddy]

ciao,

secondo te qual è una base per le matrici quadrate $2x2$ a coefficienti reali ?

[pietro1231]

"feddy":ciao,

secondo te qual è una base per le matrici quadrate $2x2$ a coefficienti reali ?

Non vorrei sbagliare... ma può essere $((a,b),(c,d))$ ?

[feddy]

Un elemento di questa base potrebbe essere $ ( ( 1 ,0),( 0 , 0 ) ) $. Gli altri hai capito quali sono.

Se preferisci lavorare con vettori puoi sfruttare l'isomorfismo $Mat(m,n,RR)\cong RR^(m*n)$

[pietro1231]

"feddy":Un elemento di questa base potrebbe essere $ ( ( 1 ,0),( 0 , 0 ) ) $. Gli altri hai capito quali sono.

Se preferisci lavorare con vettori puoi sfruttare l'isomorfismo $Mat(m,n,RR)\cong RR^(m*n)$

Gli altri sono: $((1,0),(0,0)) ((0,1),(0,0)) ((0,0),(1,0)) ((0,0),(0,1))$ Giusto?

Ma come associo queste matrici a $T$?

[feddy]

Se $A=((1,0),(0,0))$, quanto fa $T(A)$?

[pietro1231]

"feddy":Se $A=((1,0),(0,0))$, quanto fa $T(A)$?

Okok
Adesso ho capito... Grazie mille
Non riuscivo a capire che $A$ nell'applicazione lineare, fosse la stessa $A$ che andavo a calcolare

[feddy]

Di nulla. Si tratta solamente di un'applicazione lineare tra spazi di matrici. Il risultato come vedi è ancora una matrice.

[pietro1231]

"feddy":Un elemento di questa base potrebbe essere $ ( ( 1 ,0),( 0 , 0 ) ) $. Gli altri hai capito quali sono.

Se preferisci lavorare con vettori puoi sfruttare l'isomorfismo $Mat(m,n,RR)\cong RR^(m*n)$

Sono andato avanti con l'esercizio ed ho calcolato la matrice con tutte la basi canoniche ottenendo:
$T((1,0),(0,0))=((14,0),(0,0))$
$T((0,1),(0,0))=((0,14),(0,0))$
$T((0,0),(1,0))=((0,0),(14,0))$
$T((0,0),(0,1))=((0,0),(0,14))$
La matrice associata è
$((14,0,0,0),(0,14,0,0),(0,0,14,0),(0,0,0,14))$
il $det\ne0$ quindi $Rg=4$
$dim(Im(T))=Rg(A)$
$B(Im(T))={(14,0,0,0),(0,14,0,0),(0,0,14,0),(0,0,0,14)}$
$dim(KerT)=0$
Gli autovalori sono tutti uguali e quindi la matrice non è diagonalizzabile.
Giusto?

[feddy]

non ho controllato i conti. Se ti risulta così, la matrice è già diagonale come puoi vedere.