Endomorfismo

[viper19920]

ho un esercizio in cui mi chiede di trovare per quale valore del parametro h , fh sia diagonalizzabile; il problema è che non mi trovo con la soluzione e l'ho rifatto molte volte
fh(x,y,z)=(x+y+z,y,-4hy),h€R
a) determinare gli autovalori di fh e i valori di h tali che fh sia diagonalizzabile
b) determinare i valori del parametro h per cui il vettore (1,1,1) appartenga a IMfh
Ho eseguito così:
f(1,0,0)=(1,0,0)
f(0,1,0)=(1,1,-4h)
f(0,0,1)=(1,0,0)
$ | ( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , -4h , 0 ) | $

poi polinomio caratteristico e mi trovo con autovalori t=0 con ma 1 e t=1 ma2 e mi trovo con la soluzione, ma poi la soluzione diche che è diagonalizzabile per h=1\4 e non mi trovo in quanto -4h all'interno della matrice si trova nella posizione in cui non si moltiplica con nessuno :///
Il secondo punto ho moltiplicato ciascuna matrice prima sostituendo t =0 e poi t=1 per il vettore (1,1,1) ma anche qui mi trovo -4h=0 cioè h=0 mentre la soluzione mi dà h=-1\4 domani ho l'esame ma alcuni esercizi mi vengono altri no

[isaac888]

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"Shadownet614":
Ho eseguito così:
f(1,0,0)=(1,0,0)
f(0,1,0)=(1,1,-4h)
f(0,0,1)=(1,0,0)
$ | ( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , -4h , 0 ) | $

poi polinomio caratteristico e mi trovo con autovalori t=0 con ma 1 e t=1 ma2 e mi trovo con la soluzione, ma poi la soluzione diche che è diagonalizzabile per h=1\4 e non mi trovo in quanto -4h all'interno della matrice si trova nella posizione in cui non si moltiplica con nessuno :///
Il secondo punto ho moltiplicato ciascuna matrice prima sostituendo t =0 e poi t=1 per il vettore (1,1,1) ma anche qui mi trovo -4h=0 cioè h=0 mentre la soluzione mi dà h=-1\4 domani ho l'esame ma alcuni esercizi mi vengono altri no

Io non ci ho capito niente!
a)Devi solo verificare che per ogni autovalore di $f_h$ la molteplicità algebrica sia uguale a quella geometrica!
Se sì $f_h$ è diagonalizzabile, se no allora non è diagonalizzabile!
b)Che relazione c'è fra lo spazio delle colonne di una matrice e l'immagine dell'applicazione ad essa associata ($f_h$ in questo caso)?

[Magma1]

"Shadownet614":ho un esercizio in cui mi chiede di trovare per quale valore del parametro h , fh sia diagonalizzabile; il problema è che non mi trovo con la soluzione e l'ho rifatto molte volte
fh(x,y,z)=(x+y+z,y,-4hy),h€R
a) determinare gli autovalori di fh e i valori di h tali che fh sia diagonalizzabile
b) determinare i valori del parametro h per cui il vettore (1,1,1) appartenga a IMfh
Ho eseguito così:
f(1,0,0)=(1,0,0)
f(0,1,0)=(1,1,-4h)
f(0,0,1)=(1,0,0)
$ | ( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , -4h , 0 ) | $

poi polinomio caratteristico e mi trovo con autovalori t=0 con ma 1 e t=1 ma2 e mi trovo con la soluzione, ma poi la soluzione diche che è diagonalizzabile per h=1\4 e non mi trovo in quanto -4h all'interno della matrice si trova nella posizione in cui non si moltiplica con nessuno :///

Le molteplicità sono $Alg(1)=2, Alg(0)=1$, quindi occorre verificare solo la molteplicità geometrica dell'autovalore $1$: si può fare sia cercando a mano gli autovettori relativi e sia usando il confronto delle dimensioni:

$g(lambda)=dim(ker(f_lambda))=dim(V_lambda)-r(M_(A,A)(f-lambda I))$

$g(1)=3-r( ( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , -4h , -1 )) $


Quindi affinché l'endomorfismo sia diagonalizzabile,

$g(1)$ deve essere pari a $2 hArr$ il rango della matrice rappresentativa è $1 hArr h=1/4$.

"Shadownet614":
Il secondo punto ho moltiplicato ciascuna matrice prima sostituendo t =0 e poi t=1 per il vettore (1,1,1) ma anche qui mi trovo -4h=0 cioè h=0 mentre la soluzione mi dà h=-1\4 domani ho l'esame ma alcuni esercizi mi vengono altri no

Questo è più facile da risolvere: infatti dire che un vettore appartiene all'immagine è equivale a dire che esso è CL dei generatori del dominio, cioè

$alpha ((1),(0),(0))+beta((1),(1),(-4h))+gamma((1),(0),(0))=((1),(1),(1))$

[viper19920]

non capisco come mi trovo h = 1\4 :///

[Magma1]

"Magma":
Le molteplicità sono $Alg(1)=2, Alg(0)=1$, quindi occorre verificare solo la molteplicità geometrica dell'autovalore $1$: si può fare sia cercando a mano gli autovettori relativi e sia usando il confronto delle dimensioni:

$g(lambda)=dim(ker(f_lambda))=dim(V_lambda)-r(M_(A,A)(f-lambda I))$

$g(1)=3-r( ( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , -4h , -1 )) $


Quindi affinché l'endomorfismo sia diagonalizzabile,

$g(1)$ deve essere pari a $2 hArr$ il rango della matrice rappresentativa è $1 hArr h=1/4$.

"Shadownet614":non capisco come mi trovo h = 1\4

Affinché l'endomorfismo sia diagonalizzabile, deve avvenire che $g(1)=Alg(1)=2$; la molteplicità algebrica ($g(1)$) si può ricavare sfruttando il teorema del confronto e richiedendo che essa sia pari a $2$, cioè:

$ g(1)=3-r( ( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , -4h , -1 )) =2=Alg(1) $

Puoi, così, ricavare che

$3-r( ( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , -4h , -1 )) =2 hArr$

$hArr r( ( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , -4h , -1 )) =3-2=1 hArr$

$hArr r( ( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , -4h , -1 )) =1 $

E quand'è che il rango[nota]Che può essere al più $2$[/nota] varrà $1$? Solamente quando le due righe non nulle saranno proporzionali:

$(0,1,1)=prop(0,-4h,-1) hArr -4h=-1 hArr h=1/4$

Per $h=1/4$ si ha $r( ( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , -1 ))=1$.

Spero di essere stato chiaro